Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

−1<a<0-1 < a < 0 olmak üzere, tt değişkenine bağlı aşağıdaki eşitsizlikler veriliyor:

* I. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,x)(-\infty, x) aralığıdır:
a⋅t−a2a−1>t+a\frac{a \cdot t - a^2}{a - 1} > t + a
* II. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi [y,∞)[y, \infty) aralığıdır:
(a+1)t−a2−aa≤t−a\frac{(a+1)t - a^2 - a}{a} \leq t - a
* III. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (z,∞)(z, \infty) aralığıdır:
a⋅t−a3a2<t−1\frac{a \cdot t - a^3}{a^2} < t - 1

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1yy
  2. 2zz
  3. 3xx

Cevap

Doğru sıralama y<z<xy < z < x şeklindedir.
I. eşitsizlikte negatif olan a−1a-1 ile çarpım yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve x=2a2−ax = 2a^2 - a bulunur. II. eşitsizlikte negatif olan aa ile çarpım yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve y=ay = a bulunur. III. eşitsizlikte ise aa ile sadeleştirme ve çarpım adımlarının ardından z=−az = -a bulunur. −1<a<0-1 < a < 0 aralığında yy negatif, zz pozitif ve xx değeri zz'den büyüktür. Bu nedenle sıralama y<z<xy < z < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
I. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t<2a2−at < 2a^2 - a elde edilir, buradan x=2a2−ax = 2a^2 - a olur.
−1<a<0-1 < a < 0 olduğundan a−1<0a - 1 < 0 olur. Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan a−1a - 1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
2
II. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t≥at \geq a elde edilir, buradan y=ay = a olur.
−1<a<0-1 < a < 0 olduğundan a<0a < 0 olur. Paydadaki negatif olan aa değerini yok etmek için her iki tarafı aa ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
3
III. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t>−at > -a elde edilir, buradan z=−az = -a olur.
Eşitsizliğin sol tarafındaki pay ve paydayı sıfırdan farklı olan aa ile sadeleştirdikten sonra, negatif olan aa paydası ile her iki tarafı çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir ve t(1−a)>a(a−1)t(1 - a) > a(a - 1) elde edilir. 1−a>01 - a > 0 olduğundan her iki tarafı 1−a1 - a ile böldüğümüzde yön değişmez.
4
xx, yy ve zz ifadelerini −1<a<0-1 < a < 0 koşulunu dikkate alarak karşılaştıralım.
y<z<xy < z < x sıralaması bulunur.
y=ay = a negatif, z=−az = -a pozitiftir. x=2a2−a=2a2+zx = 2a^2 - a = 2a^2 + z olup, 2a2>02a^2 > 0 olduğundan x>zx > z olur. Dolayısıyla y<z<xy < z < x sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve parametrik ifadelerin işaret analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru