Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−2)<b(x+3)a(x - 2) < b(x + 3)
eşitsizliğinin çözüm kümesi (−∞,−4)(-\infty, -4) aralığıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. a<0a < 0Cevap
  2. B
    a>0a > 0
  3. C
    a⋅b<0a \cdot b < 0
  4. D
    a+b>0a + b > 0
  5. E
    a−b<0a - b < 0

Cevap

a'nın sıfırdan küçük olması
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (a−b)x<2a+3b(a-b)x < 2a+3b elde edilir. Çözüm kümesi (−∞,−4)(-\infty, -4) olduğundan eşitsizlik yön değiştirmemiştir, bu yüzden a−b>0a-b > 0 yani a>ba > b olmalıdır. Sınır değerin eşitlenmesiyle 2a+3ba−b=−4  ⟹  b=6a\frac{2a+3b}{a-b} = -4 \implies b = 6a bağıntısına ulaşılır. b=6ab = 6a ifadesi a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazıldığında a>6a  ⟹  0>5a  ⟹  a<0a > 6a \implies 0 > 5a \implies a < 0 sonucu elde edilir. Dolayısıyla a'nın sıfırdan küçük olduğu ifadesi her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği düzenleyerek x terimini yalnız bırakmak için gruplama yaparız.
(a−b)x<2a+3b(a - b)x < 2a + 3b ifadesi elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için değişkeni bir tarafta toplamamız gerekir.
2
Çözüm kümesinin (−∞,−4)(-\infty, -4) yani x<−4x < -4 olduğunu kullanarak a−ba - b ifadesinin işaretini belirleriz.
a−b>0a - b > 0 olmalıdır, dolayısıyla a>ba > b elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı a−ba - b ifadesine bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmediği için bölen sayı pozitif olmalıdır.
3
Sınır değerini eşitleyerek a ve b arasındaki cebirsel ilişkiyi buluruz.
2a+3ba−b=−4  ⟹  2a+3b=−4a+4b  ⟹  6a=b\frac{2a + 3b}{a - b} = -4 \implies 2a + 3b = -4a + 4b \implies 6a = b elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesinin üst sınırı -4 olarak verilmiştir.
4
Bulunan b=6ab = 6a eşitliğini a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazarak a'nın işaretini inceleriz.
a>6a  ⟹  0>5a  ⟹  a<0a > 6a \implies 0 > 5a \implies a < 0 elde edilir.
a ve b parametrelerinin işaretlerini ve alabilecekleri değer aralıklarını netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı ve parametre analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru