Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Aşağıda a,ba, b ve cc gerçek sayıları ile oluşturulmuş birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler ve bu eşitsizliklerin en geniş çözüm kümeleri verilmiştir:

* xx değişkenine bağlı a(x−2)>3x+4a(x - 2) > 3x + 4 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığıd��r.
* xx değişkenine bağlı (b−5)x≤2b+2(b - 5)x \leq 2b + 2 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−2,∞)[-2, \infty) aralığıdır.
* xx değişkenine bağlı c(2x−3)≥6x−11c(2x - 3) \geq 6x - 11 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,2](-\infty, 2] aralığıdır.

Buna göre; a,ba, b ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1aa değeri
  2. 2cc değeri
  3. 3bb değeri

Cevap

Hesaplanan değerler doğrultusunda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Sırasıyla çözülen eşitsizliklerden a=0.5a = 0.5, b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerleri elde edilir. Bu değerlerin sayı doğrusu üzerindeki sıralaması a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
a(x−2)>3x+4  ⟹  (a−3)x>2a+4a(x - 2) > 3x + 4 \implies (a - 3)x > 2a + 4 elde edilir. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) yani x<−2x < -2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan a−3<0a - 3 < 0 ve x<2a+4a−3x < \frac{2a + 4}{a - 3} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 2a+4a−3=−2  ⟹  2a+4=−2(a−3)  ⟹  2a+4=−2a+6  ⟹  4a=2  ⟹  a=0.5\frac{2a + 4}{a - 3} = -2 \implies 2a + 4 = -2(a - 3) \implies 2a + 4 = -2a + 6 \implies 4a = 2 \implies a = 0.5 bulunur.
Eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sınır değerinin eşlenmesi yoluyla bilinmeyeni bulmak.
2
bb parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
(b−5)x≤2b+2(b - 5)x \leq 2b + 2 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−2,∞)[-2, \infty) yani x≥−2x \geq -2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan b−5<0b - 5 < 0 ve x≥2b+2b−5x \geq \frac{2b + 2}{b - 5} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 2b+2b−5=−2  ⟹  2b+2=−2(b−5)  ⟹  2b+2=−2b+10  ⟹  4b=8  ⟹  b=2\frac{2b + 2}{b - 5} = -2 \implies 2b + 2 = -2(b - 5) \implies 2b + 2 = -2b + 10 \implies 4b = 8 \implies b = 2 bulunur.
Negatif katsayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını kullanarak sınır değerini eşlemek.
3
cc parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
c(2x−3)≥6x−11  ⟹  (2c−6)x≥3c−11c(2x - 3) \geq 6x - 11 \implies (2c - 6)x \geq 3c - 11 elde edilir. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,2](-\infty, 2] yani x≤2x \leq 2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan 2c−6<02c - 6 < 0 ve x≤3c−112c−6x \leq \frac{3c - 11}{2c - 6} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 3c−112c−6=2  ⟹  3c−11=2(2c−6)  ⟹  3c−11=4c−12  ⟹  c=1\frac{3c - 11}{2c - 6} = 2 \implies 3c - 11 = 2(2c - 6) \implies 3c - 11 = 4c - 12 \implies c = 1 bulunur.
Dağılma özelliği ve yön değiştirme kuralı yardımıyla sınır değerini eşlemek.
4
Elde edilen parametre değerleri karşılaştırılarak sıralanır.
a=0.5a = 0.5, b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerleri için 0.5<1<20.5 < 1 < 2 olduğundan a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
Bulunan sayısal değerleri büyüklüklerine göre dizmek.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde veya çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru