Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−2)<b(3−x) a(x - 2) < b(3 - x)
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (5,∞)(5, \infty) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
  1. a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0Cevap
  2. B
    a<0a < 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0
  3. C
    a<0a < 0 ve 3a−2b=03a - 2b = 0
  4. D
    a>0a > 0 ve 3a−2b=03a - 2b = 0
  5. E
    a+b>0a + b > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0

Cevap

a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0 ifadelerinin birlikte sağlandığı durumdur.
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (a+b)x<2a+3b(a + b)x < 2a + 3b elde edilir. Çözüm kümesi (5,∞)(5, \infty) yani x>5x > 5 olduğuna göre, eşitsizlik yön değiştirmiştir. Bu durum a+b<0a + b < 0 olmasını gerektirir. Her iki taraf a+ba + b ile bölündüğünde x>2a+3ba+bx > \frac{2a + 3b}{a + b} olur. Sınır değer eşitliğinden 2a+3ba+b=5\frac{2a + 3b}{a + b} = 5 yazılarak 3a+2b=03a + 2b = 0 bağıntısına ulaşılır. Buradan b=−32ab = -\frac{3}{2}a elde edilir. Bu değer a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde yerine yazıldığında −12a<0-\frac{1}{2}a < 0 yani a>0a > 0 sonucuna varılır. Bu nedenle doğru seçenek a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0 ifadelerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki parantezleri açarak düzenleyelim.
ax−2a<3b−bxax - 2a < 3b - bx
Değişkenleri ve sabitleri gruplandırabilmek için öncelikle parantezleri açmalıyız.
2
xx içeren terimleri sol tarafta, sabit terimleri ise sağ tarafta toplayalım.
ax+bx<2a+3b  ⟹  (a+b)x<2a+3bax + bx < 2a + 3b \implies (a + b)x < 2a + 3b
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik çözümlerinde bilinmeyeni yalnız bırakmak için terimleri gruplandırırız.
3
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin (5,∞)(5, \infty) yani x>5x > 5 olduğunu değerlendirelim.
Başlangıçtaki << sembolünün >> sembolüne dönüşmesi, xx'in katsayısı olan a+ba + b ifadesinin negatif olduğunu gösterir: a+b<0a + b < 0.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
4
Eşitsizliğin her iki tarafını a+ba + b değerine bölerek xx'i yalnız bırakalım ve yönü değiştirelim.
x>2a+3ba+bx > \frac{2a + 3b}{a + b}
a+b<0a + b < 0 olduğundan bölme işlemi sonucunda yön << iken >> olur.
5
Elde ettiğimiz sınır değerini verilen çözüm kümesinin sınırı olan 5 değerine eşitleyelim.
2a+3ba+b=5  ⟹  2a+3b=5(a+b)  ⟹  2a+3b=5a+5b  ⟹  3a+2b=0\frac{2a + 3b}{a + b} = 5 \implies 2a + 3b = 5(a + b) \implies 2a + 3b = 5a + 5b \implies 3a + 2b = 0
Çözüm kümesinin alt sınırı olan 5 sayısı, eşitsizlik sınır değerine eşit olmalıdır.
6
a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde bb yerine −32a-\frac{3}{2}a yazarak aa'nın işaretini belirleyelim.
a−32a<0  ⟹  −12a<0  ⟹  a>0a - \frac{3}{2}a < 0 \implies -\frac{1}{2}a < 0 \implies a > 0
Bulduğumuz bağıntıyı katsayı toplamının negatif olması koşuluyla birleştirerek parametrelerin işaretini kesinleştiririz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru