Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
8−3x<2−x≤14−4x8 - 3x < 2 - x \le 14 - 4x
eşitsizlik sistemi veriliyor.
Buna göre;
a=x+1a = x + 1
b=2x−1b = 2x - 1
c=13−xc = 13 - x
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1aa sayısı
  2. 2bb sayısı
  3. 3cc sayısı

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen eşitsizlik sistemi doğru çözüldüğünde xx sayısının aralığı 3<x≤43 < x \le 4 olarak bulunur. Bu aralıktaki tüm değerler için aa sayısı en fazla 5, bb sayısı 5 ile 7 arasında, cc sayısı ise en az 9 değerini almaktadır. Bu durumda a<b<ca < b < c sıralaması kesin olarak sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlik sisteminin sol kısmını ele alarak çözelim: 8−3x<2−x8 - 3x < 2 - x
−2x<−6-2x < -6 elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı olan −2-2 ile bölündüğ��nde eşitsizlik yön değiştirir ve x>3x > 3 bulunur.
Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik y��n değiştirir.
2
Verilen eşitsizlik sisteminin sağ kısmını ele alarak çözelim: 2−x≤14−4x2 - x \le 14 - 4x
3x≤123x \le 12 elde edilir. Her iki taraf 3'e bölündüğünde x≤4x \le 4 bulunur.
Bilinmeyenler eşitsizliğin bir tarafında, sabit sayılar diğer tarafında toplanarak sınır değer belirlenir.
3
Elde edilen iki eşitsizliğin kesişimini alarak xx sayısının aralığını belirleyelim ve bu aralığa göre aa, bb ve cc sayılarını karşılaştıralım.
xx gerçel sayısının değer aralığı 3<x≤43 < x \le 4 olarak bulunur. Bu aralıkta:
- b−a=(2x−1)−(x+1)=x−2>0b - a = (2x - 1) - (x + 1) = x - 2 > 0 (çünkü x>3>2x > 3 > 2) olup a<ba < b elde edilir.
- c−b=(13−x)−(2x−1)=14−3x≥2>0c - b = (13 - x) - (2x - 1) = 14 - 3x \ge 2 > 0 (çünkü x≤4  ⟹  3x≤12x \le 4 \implies 3x \le 12) olup b<cb < c elde edilir.
Dolayısıyla doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Tanımlanan aralıktaki değerler için ifadelerin farklarının işaretleri incelenerek kesin sıralama bağıntısı kurulur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulma ve negatif katsayı ile bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını uygulama.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru