Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
ax−12−2x−a3<x+16\frac{a x - 1}{2} - \frac{2x - a}{3} < \frac{x+1}{6}
eşitsizliğinin çözüm kümesindeki en küçük tam sayı değeri −2-2 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. (32,117](\frac{3}{2}, \frac{11}{7}]Cevap
  2. B
    [32,117)[\frac{3}{2}, \frac{11}{7})
  3. C
    (32,117)(\frac{3}{2}, \frac{11}{7})
  4. D
    (1,32](1, \frac{3}{2}]
  5. E
    [117,∞)[\frac{11}{7}, \infty)

Cevap

(32,117]ac\cık−kapalıaralıg˘ı(\frac{3}{2}, \frac{11}{7}] açık-kapalı aralığı
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (3a−5)x<4−2a(3a-5)x < 4-2a biçimine ulaşılır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesinde en küçük tam sayı değerinin bulunabilmesi için xx katsayısının negatif (3a−5<03a-5 < 0) olması ve bölme işlemi sırasında eşitsizlik yönünün değişerek x>4−2a3a−5x > \frac{4-2a}{3a-5} halini alması gerekir. Bu durumda en küçük tam sayı çözümünün −2-2 olması, alt sınır olan 4−2a3a−5\frac{4-2a}{3a-5} değerinin −3-3 ile −2-2 arasında ( −3-3 dahil, −2-2 hariç) bulunmasını gerektirir. Negatif olan 3a−53a-5 ile çarpım yapılıp eşitsizlik yönleri tekrar değiştirilerek çözüldüğünde elde edilen değer aralığı (32,117](\frac{3}{2}, \frac{11}{7}] olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek amacıyla eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı olan 6 ile çarpılır.
3(ax−1)−2(2x−a)<x+13(ax - 1) - 2(2x - a) < x + 1
Kesirli ifadelerden kurtularak eşitsizliği doğrusal formda düzenlemek.
2
Parantezler dağıtılarak xx değişkenine bağlı terimler bir araya getirilir.
3ax−3−4x+2a<x+1  ⟹  (3a−5)x<4−2a3ax - 3 - 4x + 2a < x + 1 \implies (3a - 5)x < 4 - 2a
Birinci dereceden eşitsizlik biçimine (cx<dcx < d) dönüştürmek.
3
Çözüm kümesinde en küçük tam sayı değerinin tanımlı olabilmesi için xx katsayısının işareti analiz edilir.
3a−5<0  ⟹  a<533a - 5 < 0 \implies a < \frac{5}{3} olmalıdır. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir: x>4−2a3a−5x > \frac{4-2a}{3a-5}.
Eğer 3a−5≥03a-5 \geq 0 olsaydı çözüm kümesi (−∞,K)(-\infty, K) şeklinde olurdu ve en küçük tam sayı değeri bulunamazdı.
4
Çözüm kümesindeki (x>Kx > K) en küçük tam sayının −2-2 olması için gerekli sınır koşulu kurulur.
−3≤4−2a3a−5<−2-3 \leq \frac{4-2a}{3a-5} < -2
Açık aralıkta −2-2 elemanının bulunması fakat −3-3'ün bulunmaması için alt sınırın bu değerler arasında olması gerekir.
5
Elde edilen çift yönlü eşitsizlik, negatif olan 3a−53a - 5 ifadesiyle çarpılarak çözülür.
Negatif sayı ile çarpıldığından yönler değişir: −3(3a−5)≥4−2a>−2(3a−5)  ⟹  −9a+15≥4−2a>−6a+10-3(3a-5) \geq 4-2a > -2(3a-5) \implies -9a + 15 \geq 4 - 2a > -6a + 10
Bilinmeyen olan aa parametresinin aralığını bulmak.
6
İki parçalı eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve kesişimleri alınır.
−9a+15≥4−2a  ⟹  a≤117-9a + 15 \geq 4 - 2a \implies a \leq \frac{11}{7} ve 4−2a>−6a+10  ⟹  a>324 - 2a > -6a + 10 \implies a > \frac{3}{2}. Buradan 32<a≤117\frac{3}{2} < a \leq \frac{11}{7} elde edilir.
Her iki eşitsizlik koşulunu aynı anda sağlayan ortak aa değer aralığını belirlemek.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde katsayının işaretine göre yön değiştirme kuralı ve aralık uç değerlerinin dahil olup olmama analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru