Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorRutin Olmayan Problemler

Pozitif tek sayılar, 1'den başlayarak sırasıyla aşağıdaki kurallara göre satırlardan oluşan bir sayı piramidine yazılıyor:

* Her nn. satırda nn tane sayı bulunmaktadır.
* Tek numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru artan sırada yazılmaktadır.
* Çift numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru azalan sırada yazılmaktadır.

Buna göre, 21192119 sayısı bu piramidin kaçıncı satırında ve soldan kaçıncı sıradadır?

  1. 46. satır, soldan 22. sıradaCevap
  2. B
    46. satır, soldan 25. sırada
  3. C
    46. satır, soldan 23. sırada
  4. D
    45. satır, soldan 23. sırada
  5. E
    45. satır, soldan 24. sırada

Cevap

2119 sayısı bu piramidin 46. satırında ve soldan 22. sırasındadır.
2119 sayısı 2k−1=21192k-1 = 2119 eşitliğinden 1060. tek sayıdır. İlk 45 satırda toplam 1035 sayı yer alır. Dolayısıyla bu sayı 46. satırdadır. 46 çift bir sayı olduğu için bu satırdaki sayılar soldan sağa doğru azalan sırada yazılmıştır. Bu satırdaki en büyük sayı olan 1081. tek sayı en solda (1. sırada) yer alır. Soldan pp. sıradaki sayı ise 1082−p1082 - p. tek sayıdır. Buradan 1082−p=10601082 - p = 1060 eşitliği kurulduğunda p=22p = 22 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 46. satır, soldan 22. sıradadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayının tek sayılar dizisindeki sırasını belirleme.
2119 sayısı baştan 1060. tek sayıdır (2k−1=2119⇒2k=2120⇒k=10602k - 1 = 2119 \Rightarrow 2k = 2120 \Rightarrow k = 1060).
Sayı piramidinde sadece pozitif tek sayılar kullanıldığı için ��ncelikle bu sayının genel dizideki sırasını (indisini) bulmamız gerekir.
2
Sayının bulunduğu satırı (RR) belirleme.
İlk RR satırdaki toplam eleman sayısı TR=R(R+1)2T_R = \frac{R(R+1)}{2} formülüyle hesaplanır. R=45R = 45 için T45=45×462=1035T_{45} = \frac{45 \times 46}{2} = 1035 ve R=46R = 46 için T46=46×472=1081T_{46} = \frac{46 \times 47}{2} = 1081 olur. 1035<1060≤10811035 < 1060 \leq 1081 olduğundan, sayımız 46. satırdadır.
Kümeler halindeki satırların toplam eleman kapasitesini bularak aranan indis değerinin hangi satır sınırları içerisine düştüğünü saptamak gerekir.
3
Satırın yazılış yönünü analiz etme.
Satır numarası olan 46 çift bir sayı olduğundan, bu satırdaki elemanlar soldan sağa doğru azalan sırada yazılmıştır.
Serpantin düzeninde çift numaralı satırlar sağdan sola doğru artan (soldan sağa azalan) şekilde sıralanır.
4
Sayının satırdaki soldan sırasını hesaplama.
46. satırdaki en büyük eleman (soldan 1. eleman) 1081. tek sayıdır. Soldan pp. elemanın sırası 1081−(p−1)=1082−p1081 - (p - 1) = 1082 - p olur. Buradan 1082−p=1060⇒p=221082 - p = 1060 \Rightarrow p = 22 elde edilir.
Azalan sıralamada soldan konum belirlenirken satırın üst sınırından geriye doğru sayma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan örüntü ve sayı dizileri problemlerinde kümülatif terim sayısı ve yön analizi yapma.
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru