Examkin

Soru

Zorluk: ZorPolinomlarda Dört İşlem

Başkatsayıları 11 olan ikinci dereceden tam sayı katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,

P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x)

çarpım polinomunun x3x^3 lü teriminin katsayısı −4-4, xx li teriminin katsayısı 1010 ve sabit terimi −8-8 dir.

Buna göre, P(x)+Q(x)P(x) + Q(x) toplam polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevap: -4

Cevap

Toplam polinomunun katsayılar toplamı -4'tür.
Verilen katsayı bağıntıları ve tam sayı katsayı sınırlaması kullanıldığında polinomlar P(x)=x2−3x+2P(x) = x^2 - 3x + 2 ve Q(x)=x2−x−4Q(x) = x^2 - x - 4 olarak belirlenir. Bu polinomların toplamı olan 2x2−4x−22x^2 - 4x - 2 polinomunun katsayılar toplamı −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomları tanımlama ve çarpım polinomunu oluşturma
P(x)=x2+ax+bP(x) = x^2 + ax + b ve Q(x)=x2+cx+dQ(x) = x^2 + cx + d (a,b,c,d∈Za, b, c, d \in \mathbb{Z}) olsun. Bu iki polinomun çarpımı:
P(x)⋅Q(x)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bdP(x) \cdot Q(x) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd
olarak elde edilir.
Çarp��m polinomunun terim katsayıları ile polinomların kendi katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Katsayı eşitliklerini kurma
x3x^3 lü terimin katsayısı: a+c=−4a+c = -4
xx li terimin katsayısı: ad+bc=10ad+bc = 10
Sabit terim: bd=−8bd = -8
Soruda verilen sayısal katsayı değerlerini değişkenler cinsinden ifade etmek için.
3
Tam sayı katsayı koşulu ile denklem sistemini çözme
bd=−8bd = -8 eşitliğini sağlayan tam sayı bölen çiftlerini deneriz. b=2b = 2 ve d=−4d = -4 durumunu ele alalım:
ad+bc=10  ⟹  −4a+2c=10  ⟹  −2a+c=5ad + bc = 10 \implies -4a + 2c = 10 \implies -2a + c = 5 olur.
a+c=−4  ⟹  c=−4−aa + c = -4 \implies c = -4 - a eşitliğini yerine koyarsak:
−2a+(−4−a)=5  ⟹  −3a=9  ⟹  a=−3-2a + (-4 - a) = 5 \implies -3a = 9 \implies a = -3 bulunur.
Buradan c=−1c = -1 elde edilir. Hem aa hem de cc tam sayı çıktığından koşullar sağlanır. Diğer bölen çiftleri denendiğinde rasyonel katsayılar elde edilir.
Polinom katsayılarının tam sayı olması koşulu, bd=−8bd = -8 denkleminin çözüm kümesini sınırlar.
4
Toplam polinomunun katsayılar toplamını bulma
P(x)=x2−3x+2P(x) = x^2 - 3x + 2 ve Q(x)=x2−x−4Q(x) = x^2 - x - 4 polinomlarının toplamı P(x)+Q(x)=2x2−4x−2P(x) + Q(x) = 2x^2 - 4x - 2 olur.
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılır:
P(1)+Q(1)=2(1)2−4(1)−2=−4P(1) + Q(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = -4 olarak hesaplanır.
Bir polinomun katsayılar toplamı, o polinomda değişken yerine 1 yazılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma ve toplama işlemleri ile katsayı ilişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Dört İşlem

Bu konudan daha fazla soru