Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Bir bilgisayar programında sisteme girilen her xx pozitif tam sayısına sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanarak yeni sayılar elde edilmektedir:

* xx çift ise sayı 2'ye bölünür.
* xx tek ise sayıya 7 eklenir.

Sisteme başlangıçta bir AA pozitif tam sayısı giriliyor ve elde edilen her sayıya aynı kurallar uygulanarak bir sayı dizisi oluşturuluyor. Bu işlem ardışık olarak uygulanarak 5. adımın sonunda elde edilen sayı başlangıçtaki AA sayısına eşit oluyor.

Buna göre, bu koşulu sağlayan AA sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    21
  3. C
    28
  4. 36Cevap
  5. E
    45

Cevap

Koşulu sağlayan sayıların toplamı 36'dır.
Doğru cevap 36'dır. Sisteme girilen sayı çift ise yarıya indirilir, tek ise 7 eklenir. 5 adımda başlangıç değerine geri dönen tek döngü {3, 10, 5, 12, 6} kümesidir. Bu döngüdeki herhangi bir sayı başlangıç değeri olarak seçildiğinde 5 adım sonra yine kendisine ulaşılmaktadır. Bu sayıların toplamı 3 + 5 + 6 + 10 + 12 = 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek ve çift sayılara uygulanan kuralları analiz edelim.
Bir tek sayıya uygulanan işlem (7 ekleme) sonucunda elde edilen sayı her zaman çifttir. Dolayısıyla, bir tek sayıdan hemen sonraki adım kesinlikle bölme işlemidir. Bu durum, döngü içerisinde ardışık iki kez ekleme işlemi yap��lamayacağını gösterir.
Döngüdeki işlem kalıplarının sınırlarını belirlemek için.
2
5 adımlı döngünün işlem dizisini belirleyelim.
Ardışık iki ekleme olamayacağından, 5 adımda en fazla 2 ekleme (E) ve en az 3 bölme (B) yapılabilir. Döngüsel kaymalar hariç bu durumdaki tek işlem kalıbı E, B, E, B, B şeklindedir.
Sayıyı başlangıç değerine götürecek cebirsel denklemi kurmak için.
3
E, B, E, B, B işlem dizisi için denklemi kuralım ve çözelim.
(((x+7)/2+7)/2)/2=x  ⟹  (x+21)/8=x  ⟹  7x=21  ⟹  x=3(((x+7)/2 + 7)/2)/2 = x \implies (x+21)/8 = x \implies 7x = 21 \implies x = 3 bulunur.
Döngüyü oluşturan elemanlardan birini tespit etmek için.
4
Başlangıç değeri 3 olan döngünün tüm elemanlarını listeleyelim.
3→10→5→12→6→33 \to 10 \to 5 \to 12 \to 6 \to 3 dizisi elde edilir. Bu döngüdeki 5 elemanın (3, 5, 6, 10, 12) her biri başlangıç değeri olarak seçildiğinde 5 adım sonra yine kendisine ulaşılır.
Koşulu sağlayan tüm olası başlangıç değerlerini bulmak için.
5
Bulunan tüm değerleri toplayalım.
3+5+6+10+12=363 + 5 + 6 + 10 + 12 = 36 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler ve Döngü Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru