Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Aslı bu torbadan rastgele 4 top, Berk ise torbada kalan toplardan rastgele 3 top çekmiştir.

Aslı'nın çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı en fazla kaçtır?

Cevap: 16

Cevap

Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı en fazla 16 olabilir.
Çekilen 7 topın toplamı, Aslı'nın ve Berk'in puanlarının toplamı olup 2SB+SB=3SB2 S_B + S_B = 3 S_B ifadesine eşittir ve bu toplam 3'ün katı olmalıdır. 1'den 10'a kadar olan sayılardan seçilen en büyük 7 sayının toplamı 49 olduğundan, çekilen topların toplamı en fazla 48 olabilir. Bu durumda Berk'in toplarının toplamı en fazla 48/3=1648 / 3 = 16 olur. Kalan toplar {1, 2, 4} iken Berk'in {3, 5, 8} çekmesi bu durumu sağladığından en büyük değer 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm topların toplamını hesaplama
Tüm topların toplamı 55'tir.
Çekilen ve torbada kalan topların ilişkisini kurmak için toplam puan havuzunu bilmemiz gerekir.
2
Çekilen topların toplamının matematiksel ifadesini oluşturma
Aslı ve Berk'in çektiği 7 topun toplamı 3SB3 S_B olmalıdır (burada SBS_B Berk'in çektiği topların toplamıdır).
Aslı'nın toplamı Berk'in toplamının 2 katı olduğuna göre, iki grubun toplamı Berk'in toplamının 3 katına eşit olmak zorundadır.
3
Çekilen 7 topun alabileceği maksimum toplamı ve 3'e bölünebilme şartını uygulama
Çekilen 7 topun maksimum toplamı 49'dur. 3'ün katı olması gerektiğinden bu toplam en fazla 48 olabilir. Buradan SB≤16S_B \le 16 elde edilir.
Berk'in puanını maksimum yapmak için çekilen topların toplamını mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. Ancak bu toplamın 3'ün katı olması şartı üst sınırı 48 ile sınırlar.
4
Elde edilen maksimum değerin (16) torbadaki sayı dağılımıyla sağlanıp sağlanamadığını kontrol etme
Torbada kalan toplar {1, 2, 4} ve çekilen toplar {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} iken Berk {3, 5, 8} (toplamı 16) ve Aslı {6, 7, 9, 10} (toplamı 32) çekerek bu durumu sağlayabilir.
Bulunan teorik en büyük değerin, torbadaki sayıların benzersizliği ve kalan topların tamsayı olma koşuluna uygun bir dağılımla gerçekten elde edilip edilemeyeceğini doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan problemlerde sınır durumları belirleme, bölünebilme kuralları ve küme bölüntüleme prensiplerini birlikte kullanma.
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru