Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı ABCABC ve CABCAB doğal sayıları için,
ABC−CAB=360ABC - CAB = 360
olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
  1. A
    11
  2. B
    12
  3. 13Answer
  4. D
    14
  5. E
    15

Answer

Rakamların toplamı 13 olabilir.
Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde AB=11C+40AB = 11C + 40 eşitliğine ulaşılır. Burada CC rakamına değer verildiğinde, ABAB iki basamaklı sayısının rakamları ve dolayısıyla toplamın alabileceği değerler elde edilir. C=3C=3 için AB=73AB=73 olup A=7,B=3A=7, B=3 bulunur. Bu durumda rakamlar toplamı 7+3+3=137+3+3 = 13 olur ve bu değer seçeneklerde mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üç basamaklı sayıları basamak çözümleme yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
CAB=100C+10A+BCAB = 100C + 10A + B
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak sayıların arasındaki matematiksel ilişkiyi sadeleştirmeyi sağlar.
2
Çözümlediğimiz ifadeleri çıkarma işleminde yerine koyarak sadeleştirelim.
ABC−CAB=(100A+10B+C)−(100C+10A+B)=360ABC - CAB = (100A + 10B + C) - (100C + 10A + B) = 360
90A+9B−99C=36090A + 9B - 99C = 360
Çıkarma işlemini yaparak katsayıları ortak paranteze alabileceğimiz bir form elde ederiz.
3
Elde ettiğimiz denklemin her iki tarafını da 9 ile bölelim.
10A+B−11C=4010A + B - 11C = 40
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için denklemi sadeleştiririz.
4
10A+B10A + B ifadesinin iki basamaklı ABAB sayısına eşit olduğunu kullanarak denklemi düzenleyelim.
AB−11C=40  ⟹  AB=11C+40AB - 11C = 40 \implies AB = 11C + 40
10A+B10A+B ifadesi doğrudan iki basamaklı ABAB sayısının çözümlenmiş halidir. Bu dönüşüm değer vermeyi kolaylaştırır.
5
ABAB sayısının iki basamaklı bir sayı ve A,B,CA, B, C harflerinin birer rakam olması koşulunu kullanarak uygun değerleri belirleyelim.
CC sıfırdan farklı bir rakam olmalıdır (çünkü CABCAB üç basamaklıdır). ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan AB≤99AB \le 99 olmalıdır.
CC değerlerine göre inceleyelim:
- C=1  ⟹  AB=51  ⟹  A=5,B=1C = 1 \implies AB = 51 \implies A=5, B=1 (Toplam: 5+1+1=75+1+1=7)
- C=2  ⟹  AB=62  ⟹  A=6,B=2C = 2 \implies AB = 62 \implies A=6, B=2 (Toplam: 6+2+2=106+2+2=10)
- C=3  ⟹  AB=73  ⟹  A=7,B=3C = 3 \implies AB = 73 \implies A=7, B=3 (Toplam: 7+3+3=137+3+3=13)
- C=4  ⟹  AB=84  ⟹  A=8,B=4C = 4 \implies AB = 84 \implies A=8, B=4 (Toplam: 8+4+4=168+4+4=16)
- C=5  ⟹  AB=95  ⟹  A=9,B=5C = 5 \implies AB = 95 \implies A=9, B=5 (Toplam: 9+5+5=199+5+5=19)
C≥6C \ge 6 için AB≥106AB \ge 106 olur ki bu iki basamaklı olamaz.
Matematiksel kısıtlar (rakam olma ve basamak sayısı) kullanılarak olası değerler kümesi sınırlandırılır.
6
Bulduğumuz olası toplam değerlerini seçeneklerle karşılaştıralım.
Olası toplamlar 7, 10, 13, 16 ve 19'dur. Seçeneklerde bu değerlerden sadece 13 bulunmaktadır.
Soruda 'hangisi olabilir?' diye sorulduğu için bulduğumuz değerlerden seçeneklerde yer alanı belirleriz.

Key Concept

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme kuralları kullanılarak iki basamaklı sayılara ve rakam kısıtlamalarına göre analiz edilmesi.
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic