Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!+b!=2ca! + b! = 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlüsü vardır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Answer
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

Eşitliği sağlayan 4 farklı (a, b, c) pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır.
Denklemde a≤ba \le b kabul edilerek yapılan analizde, a=1a=1 için yalnızca (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü; a=2a=2 için (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3) çözümleri bulunur. a≥3a \ge 3 için ise faktöriyeller 3'ün katı olurken 2c2^c sayısı 3'ün katı olamadığından çözüm bulunmaz. aa ve bb'nin yer değiştirmesiyle oluşan (3,2,3)(3, 2, 3) çözümü de eklendiğinde toplamda 4 farklı sıralı üçlü elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genelliği bozmadan a≤ba \le b olduğunu varsayalım ve a=1a = 1 durumunu inceleyelim.
a=1a = 1 ise 1!+b!=2c  ⟹  1+b!=2c1! + b! = 2^c \implies 1 + b! = 2^c olur. cc pozitif tam sayı olduğundan 2c2^c çift bir sayıdır. b≥2b \ge 2 için b!b! çift olacağından 1+b!1 + b! tek sayı olur ve eşitlik sağlanamaz. Dolayısıyla b=1b = 1 olmalıdır. Buradan 1!+1!=2=21  ⟹  c=11! + 1! = 2 = 2^1 \implies c = 1 bulunur. Bu durumdan (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü elde edilir.
En küçük pozitif tam sayı değerinden başlayarak durum analizi yapmak için.
2
a=2a = 2 durumunu inceleyelim.
a=2a = 2 ise 2!+b!=2+b!=2c2! + b! = 2 + b! = 2^c olur. b=2b = 2 için 2+2=4=22  ⟹  c=22 + 2 = 4 = 2^2 \implies c = 2 bulunur, buradan (2,2,2)(2, 2, 2) çözümü gelir. b=3b = 3 için 2+6=8=23  ⟹  c=32 + 6 = 8 = 2^3 \implies c = 3 bulunur, buradan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümü gelir. b≥4b \ge 4 için b!b! sayısı 4 ile tam bölünür (b!=4kb! = 4k). Denklem 2+4k=2c  ⟹  2(1+2k)=2c  ⟹  1+2k=2c−12 + 4k = 2^c \implies 2(1 + 2k) = 2^c \implies 1 + 2k = 2^{c-1} halini alır. b≥4b \ge 4 için 2+b!≥26  ⟹  c≥52 + b! \ge 26 \implies c \ge 5 olduğundan 2c−12^{c-1} çift, fakat 1+2k1 + 2k tektir; çelişki nedeniyle b≥4b \ge 4 için çözüm yoktur.
a=2a = 2 için bb değerlerini adım adım büyütüp bölünebilme kurallarını uygulayarak sınırlandırmak i��in.
3
a≥3a \ge 3 durumunu inceleyelim.
a≥3a \ge 3 ve kabulümüz gereği b≥3b \ge 3 olduğundan hem a!a! hem de b!b! sayıları 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla a!+b!a! + b! toplamı da 3'ün katı olmalıdır. Ancak 2c2^c sayısının 3 ile bölümünden kalan hiçbir zaman 0 olamaz (2'nin kuvvetlerinin asal çarpanı sadece 2'dir). Bu çelişki nedeniyle a≥3a \ge 3 için çözüm yoktur.
aa ve bb değerleri 3 veya daha büyük olduğunda faktöriyellerin barındırdığ�� ortak asal çarpanları (bu durumda 3) kullanarak eşitliğin imkansızlığını göstermek için.
4
Elde edilen çözümleri sıralı üçlüler olarak yazalım ve simetri durumunu ekleyelim.
a≤ba \le b varsayımı altında bulunan çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3)'tür. aa ve bb'nin yer değiştirebilme özelliğinden ötürü, a≠ba \ne b olan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümünün simetriği olan (3,2,3)(3, 2, 3) de bir çözümdür. Böylece tüm çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2), (2,3,3)(2, 3, 3) ve (3,2,3)(3, 2, 3) olmak üzere 4 tanedir.
Sıralı üçlü tanımına uygun olarak tüm olası permütasyonları eksiksiz saymak için.

Key Concept

Faktöriyelli denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırması yapılması.

Hints

1
Denklemi çözmek için a≤ba \le b varsayımı yaparak durumları sınırlandırmayı deneyin.
2
a≥3a \ge 3 durumunda hem a!a! hem de b!b! ifadelerinin hangi ortak asal çarpan değerine sahip olduğunu ve bu çarpanın 2c2^c ifadesinde bulunup bulunmadığını kontrol edin.
3
a=1a=1 ve a=2a=2 durumlarını ayrı ayrı ele alıp b≥4b \ge 4 için 2+b!=2c2 + b! = 2^c ifadesini her iki tarafı 2'ye bölerek tek-çift sayı analiziyle çelişkiye ulaştırın.

Practice More

Benzer bir mantıkla a!+b!+c!=2da! + b! + c! = 2^d denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini araştırmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemde her iki tarafın 3 ile bölümünden kalanlar (mod 3) incelenebilir. n≥3n \ge 3 için n!≡0(mod3)n! \equiv 0 \pmod 3 olduğundan, a,b≥3a, b \ge 3 durumunda sol taraf 0(mod3)0 \pmod 3 olur. Ancak 2c≡(−1)c(mod3)2^c \equiv (-1)^c \pmod 3 olduğundan sağ taraf asla 0 olamaz. Bu da bize doğrudan aa veya bb değerlerinden en az birinin 3'ten küçük (yani 1 veya 2) olması gerektiğini gösterir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic