Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!−b!=22⋅c!a! - b! = 22 \cdot c!
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan farklı aa değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    23
  2. B
    24
  3. C
    25
  4. D
    26
  5. 27Answer

Answer

Farklı aa değerlerinin toplamı 27'dir.
Eşitliği sağlayan farklı aa değerleri b=cb=c durumundan 23 ve b>cb>c durumundan 4 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 23+4=2723 + 4 = 27 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde her iki tarafı c!c! ifadesine bölerek sadeleştirin.
a!c!−b!c!=22\frac{a!}{c!} - \frac{b!}{c!} = 22 elde edilir.
Terimler arasındaki faktöriyel ilişkilerini daha rahat analiz edebilmek için oranlama yapılır.
2
b<cb < c durumunun olası olup olmadığını inceleyin.
b<cb < c ise b!c!\frac{b!}{c!} ifadesi tam sayı olmayan pozitif bir kesir (örneğin 1c\frac{1}{c}) olur. Ancak a>ca > c olacağından a!c!\frac{a!}{c!} bir tam sayıdır. Tam sayıdan tam sayı olmayan bir kesir çıkarıldığında sonuç bir tam sayı (22) olamaz. Dolayısıyla b≥cb \ge c olmalıdır.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkilerini sınırlandırmak için.
3
b=cb = c durumunu inceleyin.
Denklemde b=cb = c yazılırsa a!c!−1=22  ⟹  a!c!=23\frac{a!}{c!} - 1 = 22 \implies \frac{a!}{c!} = 23 elde edilir. 23 bir asal sayı olduğundan bu oran ancak tek bir çarpanla, yani a=23a = 23 ve c=22c = 22 (dolayısıyla b=22b = 22) olduğunda sağlanabilir. Buradan ilk aa değeri a=23a = 23 olarak bulunur.
Eşitliği sağlayan ilk durumu analiz etmek için.
4
b>cb > c durumunu inceleyin.
b=c+kb = c + k (k≥1k \ge 1 tam sayısı) olsun. Bu durumda denklem:
(c+1)(c+2)…(c+k)⋅[(c+k+1)…a−1]=22(c+1)(c+2)\dots(c+k) \cdot [ (c+k+1)\dots a - 1 ] = 22
şeklinde yazılabilir. Sol taraftaki ardışık çarpanların ürünü olan (c+1)…(c+k)(c+1)\dots(c+k) ifadesi 22'nin pozitif bir böleni olmalıdır. 22'nin bölenleri arasından ardışık tam sayı çarpımı şeklinde yazılabilecek durumlar incelendiğinde, sadece c=1,k=1c = 1, k = 1 için (c+1)=2(c+1) = 2 çarpanı elde edilir. Bu durumda:
2⋅[3⋅4…a−1]=22  ⟹  3⋅4…a−1=11  ⟹  3⋅4…a=122 \cdot [ 3 \cdot 4 \dots a - 1 ] = 22 \implies 3 \cdot 4 \dots a - 1 = 11 \implies 3 \cdot 4 \dots a = 12
olur. Buradan a=4a = 4 elde edilir. Diğer bölenlerden (11 ve 22) geçerli bir pozitif tam sayı çözümü gelmez.
Eşitliği sağlayan ikinci durumu ve diğer olası aa değerini bulmak için.
5
Bulunan farklı aa değerlerini toplayın.
23+4=2723 + 4 = 27 elde edilir.
Soruda bizden istenen farklı aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Faktöriyelli denklemlerde sadeleştirme, sınırlandırma analizi ve asal çarpanlara ayırma.
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic