Examkin

Question

Difficulty: MediumKartezyen Çarpım
AA ve BB kümelerinin birleşimi ile kartezyen çarpımının eleman sayıları sırasıyla şu şekildedir:
s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10
s(A×B)=24s(A \times B) = 24

AA ve BB kümelerinin en az bir ortak elemanı bulunduğuna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    24
  2. B
    16
  3. 14Answer
  4. D
    15
  5. E
    10

Answer

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 14'tür.
Doğru cevap 14'tür. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre iki kümenin eleman sayılarının çarpımı 24 olmalıdır. Birleşim formülünden kesişim eleman sayısı formüle edildiğinde, ortak eleman bulunma ve alt küme sınırlama şartlarını sadece 3 ve 8 elemanlı kümeler sağlar. Buradan elde edilen fark kümelerinin eleman sayıları 2 ve 7 olup, bunların kartezyen çarpımının eleman sayısı 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A)⋅s(B)s(A) \cdot s(B) çarpımını belirlemek.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=24s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 24
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazarak kesişim kümesinin eleman sayısını veren ifadeyi bulmak.
s(A∩B)=s(A)+s(B)−10s(A \cap B) = s(A) + s(B) - 10
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) olduğundan ve s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10 verildiğinden bu eşitlik elde edilir.
3
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) inceleyerek küme sınırlamalarını kontrol etmek.
s(A)=3s(A) = 3 ve s(B)=8s(B) = 8 (veya tam tersi) olup s(A∩B)=1s(A \cap B) = 1 bulunur.
Kesişimin en az 1 elemanlı olması ve kesişim eleman sayısının kümelerin eleman sayılarından küçük veya eşit olması koşullarını sadece 3 ve 8 çarpan çifti sağlar.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak ve kartezyen çarpımlarını hesaplamak.
s(A∖B)⋅s(B∖A)=(3−1)⋅(8−1)=2⋅7=14s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = (3 - 1) \cdot (8 - 1) = 2 \cdot 7 = 14 elde edilir.
Her iki kümeden de kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak fark kümelerinin eleman sayıları bulunur ve bu değerler çarpılır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı ve Kümelerde İşlemler

Hints

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısının, iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşit olduğunu hatırlayın.
2
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulun ve bu çiftlerin birleşim formülündeki toplamlarını inceleyin.
3
Kümelerin en az bir ortak elemanı olduğu ve kesişim eleman sayısının kümelerin kendi eleman sayısını aşamayacağı sınırlarını kullanarak doğru çarpan çiftini (3 ve 8) belirleyin.

Practice More

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemdeki grafikleri ve bu grafiklerin sınırladığı alanlarla ilgili soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayıları atanabilir. Ortadaki kesişim bölgesine x dersek, A fark B bölgesi a, B fark A bölgesi b olsun. Buradan a + x + b = 10 ve (a + x)(b + x) = 24 denklemleri elde edilir. x >= 1 ve x <= min(a+x, b+x) koşuluyla sistem çözüldüğünde x=1, a=2 ve b=7 bulunur. İstenen kartezyen çarpımın eleman sayısı a * b = 2 * 7 = 14 olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic