Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı ABCABC ve iki basamaklı BCBC doğal sayıları için,
ABC=13⋅BC+12ABC = 13 \cdot BC + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan en büyük ABCABC doğal sayısı için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    19
  3. 20Answer
  4. D
    21
  5. E
    22

Answer

Rakamları toplamının değeri 20 olan seçenektir.
Koşulu sağlayan en büyük sayı, yüzler basamağı olan AA rakamının en büyük seçilmesiyle (A=9A = 9) elde edilir. Bu durumda BC=74BC = 74 olur ve rakamları farklı olan 974974 sayısı bulunur. Bu sayının rakamları toplamı 2020 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını ABC=100A+BCABC = 100A + BC şeklinde çözümleyerek denklemde yerine yazalım.
100A+BC=13⋅BC+12100A + BC = 13 \cdot BC + 12 elde edilir.
ABCABC sayısının son iki basamağı BCBC olduğundan bu çözümleme kolaylık sağlar.
2
Elde edilen denklemde BCBC terimlerini bir araya getirerek sadeleştirme yapalım.
100A=12⋅BC+12  ⟹  100A=12(BC+1)100A = 12 \cdot BC + 12 \implies 100A = 12(BC + 1) elde edilir. Her iki tarafı 4 ile bölersek 25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğine ulaşırız.
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için.
3
25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğinde 25 ve 3 aralarında asal olduğundan, AA rakamı 3'ün katı olmalıdır. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük AA değerinden başlayalım.
A=9A = 9 için 25⋅9=3(BC+1)  ⟹  75=BC+1  ⟹  BC=7425 \cdot 9 = 3(BC + 1) \implies 75 = BC + 1 \implies BC = 74 bulunur. Bu durumda B=7B = 7 ve C=4C = 4 olur.
Soruda en büyük ABCABC sayısının bulunması istendiği için yüzler basamağı olan AA rakamını en büyük seçmeliyiz.
4
Bulunan rakamların farklılık koşulunu ve basamak koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
A=9A = 9, B=7B = 7, C=4C = 4 olup tüm rakamlar birbirinden farklıdır. ABC=974ABC = 974 sayısı elde edilir. Rakamlar toplamı 9+7+4=209 + 7 + 4 = 20 olur.
Sorudaki rakamların farklı olması koşulunu doğrulamak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme

Alternative Method

Denklem 100A=12⋅BC+12100A = 12 \cdot BC + 12 olarak elde edildikten sonra her iki tarafın 12 ile bölümünden kalanlar incelenebilir. 100A100A sayısının 12 ile bölümünden kalan 12'nin katı olmalıdır, bu da AA rakamının 3'ün katı olmasını gerektirir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic