Examkin

Question

Difficulty: MediumKartezyen Çarpım
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3<x≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 2\}
B={y∈Z:∣y−1∣≤2}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \leq 2\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin (a,b)(a, b) elemanlarından kaç tanesi a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlar?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

10
A kümesinin elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} ve B kümesinin elemanları {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\} şeklindedir. a+b≥2a + b \geq 2 koşulu incelendiğinde; a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet) ve a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) olmak üzere toplam 10 adet (a,b)(a, b) ikilisi bu koşulu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
−3<x≤2-3 < x \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar bu elemanlardan oluşmaktadır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−1,0,1,2,3}B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}
∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliği −2≤y−1≤2  ⟹  −1≤y≤3-2 \leq y - 1 \leq 2 \implies -1 \leq y \leq 3 aralığı olarak çözülür.
3
A kümesindeki her bir a elemanı için a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlayan b elemanlarını bulmak
a=−2a = -2 için b≥4b \geq 4 (0 adet), a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet), a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) bulunur.
b≥2−ab \geq 2 - a eşitsizliğini sağlayan b∈Bb \in B elemanları her durum için ayrı ayrı tespit edilir.
4
Koşulu sağlayan toplam ikili sayısını hesaplamak
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 adet ikili
Her bir durum için bulunan uygun ikili sayılarının toplanması toplam sonucu verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların koşullu sayımı

Hints

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.
2
B kümesini bulmak için ∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliğini çözerek y tam sayılarının sınırlarını belirleyin.
3
A kümesinden seçeceğiniz her bir eleman için b≥2−ab \geq 2 - a koşulunu sağlayan B elemanlarının sayısını ayrı ayrı belirleyip toplayın.

Practice More

Kartezyen çarpımın elemanlarını bir koordinat düzleminde noktalar olarak gösterip, a+b=2a + b = 2 doğrusunun üzerinde ve sağında kalan noktaları sayarak görsel bir çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Koşulu sağlayan elemanları tek tek saymak yerine, kartezyen çarpımın tüm elemanlarından (25 adet) koşulu sağlamayan (a+b<2a + b < 2) elemanları bulup çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic