Examkin

Question

Difficulty: Very hardOlasılık Kavramı ve Özellikleri
Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için
P(A)=35P(A) = \frac{3}{5}
P(B)=34P(B) = \frac{3}{4}
olduğu bilinmektedir.
Buna göre, P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?
  1. A
    310\frac{3}{10}
  2. B
    35\frac{3}{5}
  3. C
    920\frac{9}{20}
  4. 14\frac{1}{4}Answer
  5. E
    12\frac{1}{2}

Answer

14\frac{1}{4}
Verilen olasılık aksiyomları ve kümeler arası ilişkiler doğrultusunda, birleşim olayının olasılığının en fazla 1 olması kuralından hareketle kesişim kümesinin en küçük olasılık değeri 720\frac{7}{20} olarak bulunur. Kesişim kümesi AA kümesinin alt kümesi olduğundan en büyük olasılık değeri P(A)=1220P(A) = \frac{12}{20} olur. Bu sınırlar P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) formülünde yerine konulduğunda ifadenin alabileceği en büyük değer 820\frac{8}{20}, en küçük değer ise 320\frac{3}{20} olarak elde edilir. İki sınır değerin farkı alındığında sonuç 14\frac{1}{4} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen olasılık ifadesini kesişim cinsinden yazma
P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)
Bir olayın tümleyeninin başka bir olayla kesişimi, o olayın fark kümesinin olasılığına eşittir.
2
Kesişim olasılığının alt sınırını bulma
P(A∩B)≥P(A)+P(B)−1  ⟹  P(A∩B)≥35+34−1=720P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1 \implies P(A \cap B) \geq \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{7}{20}
Birleşim olayının olasılığı en fazla 1 olabilir (P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1).
3
Kesişim olasılığının üst sınırını bulma
P(A∩B)≤min⁡(P(A),P(B))  ⟹  P(A∩B)≤35=1220P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \implies P(A \cap B) \leq \frac{3}{5} = \frac{12}{20}
Kesişim kümesinin olasılığı, kesişen kümelerin kendi olasılıklarından büyük olamaz.
4
P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesinin sınır değerlerini hesaplama
En büyük değer: 1520−720=820\frac{15}{20} - \frac{7}{20} = \frac{8}{20}, En küçük değer: 1520−1220=320\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{3}{20}
P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) ifadesinde kesişim olasılığının en küçük değeri en büyük sonucu, en büyük değeri ise en küçük sonucu verir.
5
En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı bulma
820−320=520=14\frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değer birbirinden çıkarılır.

Key Concept

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Kesişim/Birleşim Sınırları

Hints

1
P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesini Venn şemasında göstererek P(B)−P(A∩B)P(B) - P(A \cap B) biçiminde yazmayı deneyin.
2
Birleşim olayının olasılığının maksimum 1 olabileceğini (P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1) kullanarak kesişim olasılığının alabileceği en küçük değeri bulun.
3
P(A∩B)≤P(A)P(A \cap B) \leq P(A) olduğunu dikkate alarak kesişim olasılığının alabileceği en büyük değeri belirleyin ve bunları P(B)−P(A∩B)P(B) - P(A \cap B) ifadesinde yerine koyun.

Practice More

Benzer sınır değer mantığıyla, P(A∪B)P(A \cup B) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin çarpımını bulmaya çalışın.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebiliriz. A∖B=xA \setminus B = x, A∩B=yA \cap B = y, B∖A=zB \setminus A = z ve dış bölge ww olsun. x+y=3/5x + y = 3/5, y+z=3/4y + z = 3/4 ve x+y+z+w=1x + y + z + w = 1 eşitlikleri yazılır. Buradan z=P(A′∩B)z = P(A' \cap B) ifadesinin sınırlarını doğrudan bu denklem sisteminden ww'ya bağlı olarak inceleyebiliriz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Olasılık Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic