Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için, A veya B olayının gerçekleşme olasılığı… — ALES

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı ile her iki olayın da birlikte gerçekleşme olasılığı arasındaki fark $\frac{1}{2}$ 'dir.

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

olduğuna göre, $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

$\frac{1}{8}$ Answer
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{3}{8}$
D
$\frac{5}{8}$
E
$\frac{1}{2}$

Answer

A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

'dir.

Tümleyenlerin olasılık kurallarından

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir. Birleşim olasılığı formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

ifadesi, soruda verilen

P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}

eşitliğinde yerine konulursa

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

elde edilir. Burada bulunan toplam yerine yazıldığında

\frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

denklemi çözülerek her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Tümleyen özelliklerini kullanarak olayların kendi olasılıkları toplamını bulun.

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

P(A') = 1 - P(A)

P(B') = 1 - P(B)

eşitlikleri

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

denkleminde yerine yazıldığında,

2 - (P(A) + P(B)) = \frac{5}{4} \implies P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir.

Birleşim olasılığı formülünü kullanarak soruda verilen fark ifadesini düzenleyin.

P(A \cup B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

olduğu bilindiğinden, bu ifadeden

P(A \cap B)

çıkarıldığında elde edilen eşitlik kullanılır.

Bulunan değerleri ve denklemleri birleştirerek kesişim olasılığ��nı hesaplayın.

P(A \cap B) = \frac{1}{8}

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies \frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies 2P(A \cap B) = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{8}

elde edilir.

Key Concept

Olasılık fonksiyonunun özellikleri, tümleyen olayın olasılığı ve iki olayın birleşiminin olasılığı.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic