Examkin

Question

Difficulty: MediumŞifreleme ve Kodlama

Bir şifreleme sisteminde, her bir rakamın kodu, o rakamın 22 tabanındaki (ikilik) yazımında bulunan "11" rakamlarının sayısına eşittir.

Örneğin;
* 3=(11)23 = (11)_2 olduğundan 33'ün kodu 22'dir.
* 8=(1000)28 = (1000)_2 olduğundan 88'in kodu 11'dir.

Bir doğal sayının şifresi ise şu adımlarla belirlenmektedir:
1. Sayının basamaklarındaki rakamların yukarıdaki kuralla belirlenen kodları, soldan sağa doğru sırayla yan yana yazılarak yeni bir sayı elde edilir.
2. Elde edilen bu yeni sayıya, bu yeni sayının rakamları toplamı eklenir.

Örnek: 745745 sayısı için;
* Rakamların kodları: 77'nin kodu 33, 44'ün kodu 11, 55'in kodu 22'dir.
* Kodların yan yana yazılmasıyla elde edilen sayı: 312312'dir.
* Bu sayının rakamları toplamı: 3+1+2=63 + 1 + 2 = 6'dır.
* Şifre: 312+6=318312 + 6 = 318 olur.

Buna göre, şifresi 116116 olan üç basamaklı en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. 5Answer
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

Şifresi 116 olan üç basamaklı en küçük doğal sayının rakamları toplamı 5'tir.
Şifreleme kurallarına göre oluşturulan 101⋅c(X)+11⋅c(Y)+2⋅c(Z)=116101 \cdot c(X) + 11 \cdot c(Y) + 2 \cdot c(Z) = 116 denkleminin tek çözümü c(X)=1c(X) = 1, c(Y)=1c(Y) = 1 ve c(Z)=2c(Z) = 2 kod değerleridir. Bu kodlara sahip rakam kümeleri içinden en küçük rakamlar seçildiğinde aranan sayı 113113 olarak bulunur. Bu sayının rakamları toplamı ise 1+1+3=51 + 1 + 3 = 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Şifreleme adımlarına göre matematiksel denklemi kurma
Denklem: 101⋅c(X)+11⋅c(Y)+2⋅c(Z)=116101 \cdot c(X) + 11 \cdot c(Y) + 2 \cdot c(Z) = 116
Aranan üç basamaklı sayı XYZXYZ olsun. Bu sayının basamak kodları c(X)c(X), c(Y)c(Y) ve c(Z)c(Z)'dir. Yan yana yazılan sayı N=100⋅c(X)+10⋅c(Y)+c(Z)N = 100 \cdot c(X) + 10 \cdot c(Y) + c(Z) ve bu sayının rakamları toplamı S=c(X)+c(Y)+c(Z)S = c(X) + c(Y) + c(Z) olur. Şifre N+S=101⋅c(X)+11⋅c(Y)+2⋅c(Z)=116N + S = 101 \cdot c(X) + 11 \cdot c(Y) + 2 \cdot c(Z) = 116 formülüyle hesaplanır.
2
Katsayılara göre basamak kodlarının değerlerini belirleme
c(X)=1c(X) = 1, c(Y)=1c(Y) = 1 ve c(Z)=2c(Z) = 2
XYZXYZ üç basamaklı bir sayı olduğundan yüzler basamağı X≥1X \ge 1'dir, dolayısıyla c(X)≥1c(X) \ge 1 olmalıdır. Eğer c(X)≥2c(X) \ge 2 olursa, 101⋅c(X)≥202101 \cdot c(X) \ge 202 olur ve şifre olan 116116 değerini aşar. Bu nedenle c(X)=1c(X) = 1 olmalıdır. Denkleme yerleştirildiğinde: 101(1)+11⋅c(Y)+2⋅c(Z)=116⇒11⋅c(Y)+2⋅c(Z)=15101(1) + 11 \cdot c(Y) + 2 \cdot c(Z) = 116 \Rightarrow 11 \cdot c(Y) + 2 \cdot c(Z) = 15 kalır. c(Y)c(Y) ve c(Z)c(Z) değerleri en fazla 33 olabileceğinden, tek uygun tamsayı çözümü c(Y)=1c(Y) = 1 ve c(Z)=2c(Z) = 2 olarak bulunur.
3
Kod değerlerine karşılık gelen en küçük rakamları seçme
X=1X = 1, Y=1Y = 1, Z=3Z = 3 ve sayı 113113
Kodu 11 olan rakamlar {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\}, kodu 22 olan rakamlar ise {3,5,6,9}\{3, 5, 6, 9\}'dur. Üç basamaklı en küçük sayıyı oluşturmak için basamaklardaki rakamları en küçük seçmeliyiz. XX için en küçük rakam 11, YY için en küçük rakam 11 ve ZZ için en küçük rakam 33 seçilir. Böylece en küçük sayı 113113 olur.
4
Oluşturulan sayının rakamları toplamını hesaplama
1+1+3=51 + 1 + 3 = 5
Soruda şifresi 116116 olan üç basamaklı en küçük doğal sayının rakamları toplamı sorulduğu için bulduğumuz 113113 sayısının rakamları toplanır.

Key Concept

Taban aritmetiği ve sayı çözümleme mantığıyla optimizasyon yapma
Rate this question

Topics

Şifreleme ve Kodlama

More questions from this topic