Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Bir evrensel kümenin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22
* s(A∖B)=s(B∖A)+3s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3
* s(A∩B)=s(A∖B)−5s(A \cap B) = s(A \setminus B) - 5

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    17
  5. E
    13

Answer

15
Doğru cevap 15'tir. Çünkü fark bölgesi eleman sayısı xx cinsinden yazılıp birleşim kümesi denklemine yerleştirildiğinde bilinmeyen değer 7 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında ilk kümenin fark bölgesi 10, kesişim bölgesi 5 olur. Bu iki bölgenin toplamı olan 15 değeri doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerine değişken atayarak eleman sayılarını belirleme
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(A∩B)=(x+3)−5=x−2s(A \cap B) = (x + 3) - 5 = x - 2 olur.
Tüm bölgeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek birleşim kümesi formülünü uygulamak.
2
Birleşim formülü ile bilinmeyen değişkeni çözme
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünden, 22=(x+3)+x+(x−2)  ⟹  22=3x+1  ⟹  3x=21  ⟹  x=722 = (x + 3) + x + (x - 2) \implies 22 = 3x + 1 \implies 3x = 21 \implies x = 7 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı, kesişmeyen üç alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.
3
İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama
s(A∖B)=7+3=10s(A \setminus B) = 7 + 3 = 10 ve s(A∩B)=7−2=5s(A \cap B) = 7 - 2 = 5 olur. Buradan s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=10+5=15s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 10 + 5 = 15 elde edilir.
İlk kümenin toplam eleman sayısı, o kümenin fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler

Hints

1
Kümelerin birleşimini oluşturan üç temel ayrık bölgeyi (fark bölgeleri ve kesişim) belirleyin.
2
Bir bölgenin eleman sayısına değişken atayarak diğer bölgeleri bu değişken cinsinden yazın ve toplamlarını birleşim eleman sayısına eşitleyin.

Practice More

Benzer şekilde üç kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini içeren sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Örneğin ilk kümenin eleman sayısı 15 olarak alındığında kesişim 5 ve fark bölgesi 10 olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

More questions from this topic