Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark) Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Bir okulda basketbol oynayan öğrencilerin kümesi $B$ , voleybol oynayan öğrencilerin kümesi $V$ olarak tanımlanıyor. Basketbol veya voleybol oynayan öğrencilerden oluşan 40 kişilik bir grupta,

* $s(B \setminus V) = 2 \cdot s(B \cap V)$
* $s(V \setminus B) = s(B \cap V) + 4$

olduğuna göre, voleybol oynayan öğrencilerin sayısı ( $s(V)$ ) kaçtır?

13

16

22

27

28

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı 22'dir.

Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı, yalnızca voleybol oynayanlar (

s(V \setminus B) = 13

) ile her iki sporu da oynayanların (

s(B \cap V) = 9

) toplamı olan 22'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını değişken olarak tanımlama.

s(B \cap V) = x

olsun. Bu durumda

s(B \setminus V) = 2x

ve

s(V \setminus B) = x + 4

olur.

Soruda verilen oranları ve ilişkileri tek bir de��işken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak denklem kurma.

s(B \cup V) = s(B \setminus V) + s(B \cap V) + s(V \setminus B) \implies 2x + x + (x + 4) = 40 \implies 4x + 4 = 40

Gruptaki her öğrenci en az bir spor dalıyla ilgilendiği için tüm alt bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısına (40) eşit olmalıdır.

3

Denklemi çözerek bilinmeyen

x

değerini bulma.

4x = 36 \implies x = 9

bulunur.

Kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.

4

Voleybol oynayan toplam öğrenci sayısını (

s(V)

) hesaplama.

s(V) = s(V \setminus B) + s(B \cap V) = (x + 4) + x = 13 + 9 = 22

bulunur.

Voleybol oynayan öğrencilerin kümesi, sadece voleybol oynayanlar ile her iki sporu da oynayanların birleşiminden oluşur.

Key Concept

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri

Question 2Question →

$A$ ve $B$ boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)

s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2

s(A \cup B) = 18

olduğuna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

10

12

13

15

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

A kümesinin eleman sayısı 13'tür.

Doğru seçenekte belirtilen değer, birleşim formülü (

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

) kullanılarak oluşturulan denklem çözüldüğünde elde edilen

x = 5

değerinin

s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2

ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 13 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin birleşim formülünü ayrık alt kümeler cinsinden yazın ve değişken tanımlayın.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülü yazılır.

s(B \setminus A) = x

denilirse,

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(A \cap B) = x - 2

olur.

Verilen oranları tek bir bilinmeyen (

x

) cinsinden ifade ederek denklem kurmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Bilinmeyen

x

değerini bulmak için birleşim eleman sayısı denklemini çözün.

2x + x + (x - 2) = 18 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5

bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısının 18 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen değişkenin sayısal değeri hesaplanır.

3

A

kümesinin eleman sayısını hesaplayın.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)

olduğundan,

s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2

formülünde

x = 5

yazılırsa

s(A) = 3 \cdot 5 - 2 = 13

elde edilir.

A

kümesi,

A \setminus B

fark kümesi ile

A \cap B

kesişim kümesinin birleşiminden oluştuğu için bu iki bölgenin eleman sayıları toplanır.

Key Concept

Birleşim kümesinin eleman sayısı, iki kümenin farkları ve kesişiminin eleman sayılarının toplamına eşittir.

Hints

1

Birleşim kümesini oluşturan ayrık bölgeleri (yalnız A'da olanlar, yalnız B'de olanlar ve her ikisinde de olanlar) Venn şeması çizerek göstermeyi deneyin.

2

s(B \setminus A) = x

diyerek diğer bölgelerin eleman sayılarını

x

cinsinden ifade edin:

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(A \cap B) = x - 2

.

3

Tüm bölgelerin toplamını

18

elemana eşitleyerek

x

değerini bulun. Sonrasında

A

kümesinin eleman sayısının

s(A \setminus B) + s(A \cap B)

olduğunu unutmayın.

Practice More

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A, B ve C) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek her bir bölgeye harfler verilebilir.

A \setminus B

bölgesine

a

,

A \cap B

bölgesine

b

,

B \setminus A

bölgesine

c

dersek; verilenler

a = 2c

,

b = c - 2

ve

a + b + c = 18

olur. Buradan

2c + c - 2 + c = 18 \implies 4c = 20 \implies c = 5

bulunur. Bizden istenen

a + b = 2c + c - 2 = 3c - 2 = 13

olarak doğrudan hesaplanabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir evrensel kümenin iki alt kümesi olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \cup B) = 22$
* $s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3$
* $s(A \cap B) = s(A \setminus B) - 5$

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

12

15

17

13

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15

Doğru cevap 15'tir. Çünkü fark bölgesi eleman sayısı

x

cinsinden yazılıp birleşim kümesi denklemine yerleştirildiğinde bilinmeyen değer 7 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında ilk kümenin fark bölgesi 10, kesişim bölgesi 5 olur. Bu iki bölgenin toplamı olan 15 değeri doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin bölgelerine değişken atayarak eleman sayılarını belirleme

s(B \setminus A) = x

olsun. Bu durumda

s(A \setminus B) = x + 3

ve

s(A \cap B) = (x + 3) - 5 = x - 2

olur.

Tüm bölgeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek birleşim kümesi formülünü uygulamak.

2

Birleşim formülü ile bilinmeyen değişkeni çözme

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülünden,

22 = (x + 3) + x + (x - 2) \implies 22 = 3x + 1 \implies 3x = 21 \implies x = 7

bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısı, kesişmeyen üç alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.

3

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama

s(A \setminus B) = 7 + 3 = 10

ve

s(A \cap B) = 7 - 2 = 5

olur. Buradan

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 10 + 5 = 15

elde edilir.

İlk kümenin toplam eleman sayısı, o kümenin fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler

Hints

1

Kümelerin birleşimini oluşturan üç temel ayrık bölgeyi (fark bölgeleri ve kesişim) belirleyin.

2

Bir bölgenin eleman sayısına değişken atayarak diğer bölgeleri bu değişken cinsinden yazın ve toplamlarını birleşim eleman sayısına eşitleyin.

Practice More

Benzer şekilde üç kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini içeren sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Örneğin ilk kümenin eleman sayısı 15 olarak alındığında kesişim 5 ve fark bölgesi 10 olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

olduğuna göre, $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ kümesinin eleman sayıs�� kaçtır?

0

2

3

4

7

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4

Doğru cevap 4 elemanlı olan seçenektir.

A \setminus B

kümesi

\{1, 2\}

ve

B \setminus A

kümesi

\{6, 7\}

elemanlarından oluşur. Bu iki kümenin birleşimi olan

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

kümesi

\{1, 2, 6, 7\}

elemanlarını içerir ve eleman sayısı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1

A \setminus B

kümesinin elemanlarını belirlemek.

A \setminus B = \{1, 2\}

Fark işlemi, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmayı gerektirir.

2

B \setminus A

kümesinin elemanlarını belirlemek.

B \setminus A = \{6, 7\}

Benzer şekilde, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları bulmak gerekir.

3

Elde edilen fark kümelerinin birleşimini almak.

(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 6, 7\}

ve eleman sayısı 4'tür.

Birleşim işlemi, iki kümenin tüm elemanlarının bir araya getirilmesiyle yeni bir küme oluşturulmasını sağlar.

Key Concept

Kümelerde Fark ve Birleşim İşlemleri

Alternative Method

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir:

s((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) = s(A \cup B) - s(A \cap B)

şeklinde hesaplanabilir.

s(A \cup B) = 7

ve

s(A \cap B) = 3

olduğundan,

7 - 3 = 4

bulunur.

Estimated Time:45s

Question 5Question →

A

ve

B

kümeleri için,

s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)

s(A \setminus B) = 14

olduğuna göre,

B \setminus A

kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

1

2

4

6

10

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

2

Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı ve tam sayı olması gerektiği kurallarından yola çıkılarak

s(A \cap B) = x

ve

s(B \setminus A) = y

için

y = 4x - 14

denklemi elde edilir.

y

değerinin en az sıfır olabilmesi için

x

en az 4 olmalıdır. Buradan

y

en az 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Küme eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için değişken tanımlama.

s(A \cap B) = x

ve

s(B \setminus A) = y

olsun. Bu durumda soruda verilen orana göre

s(A \cup B) = 5x

olur.

Kümeler arasındaki ilişkileri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.

2

Verilen de��erleri birleşim kümesi formülünde yerine koyarak düzenleme yapma.

Kümelerde birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında:

5x = 14 + y + x

4x = 14 + y

y = 4x - 14

elde edilir.

B \setminus A

kümesinin eleman sayısını (

y

), kesişim kümesinin eleman sayısı (

x

) cinsinden ifade etmek için.

3

Eleman sayısının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarını uygulama.

Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından

y \geq 0

olmalıdır. Ayrıca eleman sayıları birer tam sayı olmalıdır.

4x - 14 \geq 0 \implies 4x \geq 14 \implies x \geq 3,5

Bu koşulu sağlayan en küçük

x

tam sayısı

4

olarak belirlenir.

Gerçekçi küme koşullarını sağlayarak en küçük eleman sayısına ulaşmak için.

4

Bulunan en küçük kesişim eleman sayısını kullanarak fark kümesinin eleman sayısını hesaplama.

x = 4

değeri için:

y = 4(4) - 14 = 16 - 14 = 2

bulunur.

B \setminus A

kümesinin alabileceği en küçük eleman sayısını bulmak için.

Key Concept

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri Arasındaki İlişkiler

Question 6Question →

Bir grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan 36 kişi vardır. Bu grupta İngilizce konuşanların kümesi $E$ , Almanca konuşanların kümesi $G$ ile gösterilmektedir.

* Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca konuşanların sayısı, her iki dili de konuşanların sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu grupta İngilizce konuşan kişi sayısı kaçtır?

12

18

24

27

28

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

İngilizce konuşan kişi sayısı 27'dir.

İngilizce konuşan toplam kişi sayısı, sadece İngilizce konuşanlar (

8x

) ile her iki dili konuşan ortak elemanların (

x

) toplamıdır. Denklemden elde edilen

x = 3

değeri yerine yazıldığında

9x = 27

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını değişkenle ifade edin.

s(E \cap G) = x

Diğer küme bölümlerinin eleman sayıları bu ortak bölgeye bağlı olarak tanımlanacaktır.

2

Almanca konuşanların toplam eleman sayısını bulun.

s(G \setminus E) = 3x

ve

s(G) = 3x + x = 4x

Sadece Almanca konuşanlar her iki dili konuşanların 3 katı olduğundan, Almanca konuşanlar bu iki bölgenin toplamıdır.

3

Sadece İngilizce konuşanların eleman sayısını Almanca konuşanlar cinsinden ifade edin.

s(E \setminus G) = 2 \cdot s(G) = 2 · 4x = 8x

Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların toplam sayısının 2 katı olarak verilmiştir.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak x değerini hesaplayın.

s(E \cup G) = 8x + x + 3x = 12x = 36 \implies x = 3

Gruptaki herkes en az bir dil konuştuğu için tüm bölgelerin toplamı grubun toplam mevcudu olan 36'ya eşittir.

5

İngilizce konuşan toplam kişi sayısını hesaplayın.

s(E) = s(E \setminus G) + s(E \cap G) = 8x + x = 9x \implies 9 · 3 = 27

İngilizce konuşanlar, sadece İngilizce konuşanlar ile her iki dili de konuşanların toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulaması ve eleman sayıları arasındaki ilişkiler.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bir bölgenin eleman sayısını doğrudan şema üzerinde harflendirip denklem kurarak da çözüme ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir spor salonundaki sporcuların kümesi $E$ evrensel kümesidir. Bu sporculardan düzenli olarak kardiyo yapanların kümesi $K$ , ağırlık antrenmanı yapanların kümesi ise $A$ olarak belirlenmiştir.

Bu spor salonunda;
* Sadece ağırlık antrenmanı yapanların sayısı, hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların sayısının 4 katıdır.
* Kardiyo yapan sporcuların sayısı, sadece ağırlık antrenmanı yapan sporcuların sayısından 2 fazladır.
* Bu iki aktiviteden en az birini yapan toplam 50 sporcu bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda sadece kardiyo yapan sporcu sayısı kaçtır?

18

20

24

26

30

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sadece kardiyo yapan sporcu sayısı 20'dir.

Sorudaki veriler doğrultusunda hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanlar

s(K \cap A) = y

, sadece ağırlık antrenmanı yapanlar

s(A \setminus K) = 4y

ve sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2

olarak belirlenir. Bu üç bölgenin toplamı olan

s(K \cup A) = 8y + 2 = 50

eşitliğinden

y = 6

bulunur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

3(6) + 2 = 20

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade etme

Hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

K \cap A

ve eleman sayısı

s(K \cap A) = y

olsun. Sadece ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

A \setminus K

olur. Birinci koşula göre,

s(A \setminus K) = 4y

olarak yazılır.

Problemdeki oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edebilmek amacıyla bu adım yapılır.

2

Kardiyo yapanların ve sadece kardiyo yapanların sayısını bulma

Kardiyo yapan sporcuların kümesi

K

olup eleman sayısı

s(K) = s(K \setminus A) + s(K \cap A)

şeklindedir. İkinci koşula göre,

s(K) = s(A \setminus K) + 2 \Rightarrow s(K) = 4y + 2

olur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

s(K \setminus A) = s(K) - s(K \cap A) = (4y + 2) - y = 3y + 2

bulunur.

Kardiyo yapanların kümesini oluşturan bölgeleri ve sadece kardiyo yapan bölgeyi tanımlamak için bu adım yapılır.

3

Bilinmeyeni çözme ve hedef değeri hesaplama

En az birini yapanların toplamı

s(K \cup A) = s(K \setminus A) + s(A \setminus K) + s(K \cap A) = 50

olarak verilmiştir. Değerleri yerine yazarsak;

(3y + 2) + 4y + y = 50 \Rightarrow 8y + 2 = 50 \Rightarrow 8y = 48 \Rightarrow y = 6

elde edilir. Bizden istenen sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2 = 3(6) + 2 = 20

olarak bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısından yararlanarak bilinmeyen

y

değerini bulup sadece kardiyo yapanların sayısını hesaplamak için bu adım yapılır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin şema ve denklemlerle modellenmesi.

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes