Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=s(B∖A)−2s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2
s(A∪B)=18s(A \cup B) = 18

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 13Answer
  5. E
    15

Answer

A kümesinin eleman sayısı 13'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, birleşim formülü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanılarak oluşturulan denklem çözüldüğünde elde edilen x=5x = 5 değerinin s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 13 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin birleşim formülünü ayrık alt kümeler cinsinden yazın ve değişken tanımlayın.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülü yazılır. s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denilirse, s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2 olur.
Verilen oranları tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden ifade ederek denklem kurmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Bilinmeyen xx değerini bulmak için birleşim eleman sayısı denklemini çözün.
2x+x+(x−2)=18  ⟹  4x−2=18  ⟹  4x=20  ⟹  x=52x + x + (x - 2) = 18 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısının 18 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen değişkenin sayısal değeri hesaplanır.
3
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğundan, s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 formülünde x=5x = 5 yazılırsa s(A)=3⋅5−2=13s(A) = 3 \cdot 5 - 2 = 13 elde edilir.
AA kümesi, A∖BA \setminus B fark kümesi ile A∩BA \cap B kesişim kümesinin birleşiminden oluştuğu için bu iki bölgenin eleman sayıları toplanır.

Key Concept

Birleşim kümesinin eleman sayısı, iki kümenin farkları ve kesişiminin eleman sayılarının toplamına eşittir.

Hints

1
Birleşim kümesini oluşturan ayrık bölgeleri (yalnız A'da olanlar, yalnız B'de olanlar ve her ikisinde de olanlar) Venn şeması çizerek göstermeyi deneyin.
2
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x diyerek diğer bölgelerin eleman sayılarını xx cinsinden ifade edin: s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2.
3
Tüm bölgelerin toplamını 1818 elemana eşitleyerek xx değerini bulun. Sonrasında AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Practice More

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A, B ve C) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek her bir bölgeye harfler verilebilir. A∖BA \setminus B bölgesine aa, A∩BA \cap B bölgesine bb, B∖AB \setminus A bölgesine cc dersek; verilenler a=2ca = 2c, b=c−2b = c - 2 ve a+b+c=18a + b + c = 18 olur. Buradan 2c+c−2+c=18  ⟹  4c=20  ⟹  c=52c + c - 2 + c = 18 \implies 4c = 20 \implies c = 5 bulunur. Bizden istenen a+b=2c+c−2=3c−2=13a + b = 2c + c - 2 = 3c - 2 = 13 olarak doğrudan hesaplanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

More questions from this topic