Examkin

Question

Difficulty: Very hardBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için aşağıdaki bilgiler veriliyor:

* Yüzler ve onlar basamağ��ndaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri 180180 azalmaktadır.
* Onlar ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri 2727 artmaktadır.
* ABCABC sayısı ile bu sayının rakamlarının ters sırayla yazılmasıyla elde edilen CBACBA sayısının toplamı 10001000'den küçüktür.

Buna göre, bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

  1. 739Answer
  2. B
    1275
  3. C
    3549
  4. D
    383
  5. E
    942

Answer

Koşulları sağlayan tüm sayıların toplamı 739'dur.
Verilen bilgilere göre, basamak çözümlemesi yapıldığında yüzler ve onlar basamağının yer değiştirmesiyle oluşan farktan A−B=2A - B = 2, onlar ve birler basamağının yer değiştirmesiyle oluşan farktan C−B=3C - B = 3 bağıntıları elde edilir. Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olma koşulu altında yazılabilecek sayılar 314314, 425425, 536536, 647647, 758758 ve 869869'dur. Bu sayılardan kendisi ile tersinin toplamı 10001000'den küçük olanlar yalnızca 314314 (314+413=727314 + 413 = 727) ve 425425 (425+524=949425 + 524 = 949) sayılarıdır. Bu iki say��nın toplamı ise 739739 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci koşulu matematiksel denkleme dönüştürme
ABC−BAC=180  ⟹  90(A−B)=180  ⟹  A−B=2ABC - BAC = 180 \implies 90(A - B) = 180 \implies A - B = 2
Yüzler ve onlar basamağı yer değiştirdiğinde değerin 180 azalması, ABCABC'nin BACBAC'den 180 büyük olduğunu gösterir.
2
İkinci koşulu matematiksel denkleme dönüştürme
ACB−ABC=27  ⟹  9(C−B)=27  ⟹  C−B=3ACB - ABC = 27 \implies 9(C - B) = 27 \implies C - B = 3
Onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde değerin 27 artması, ACBACB'nin ABCABC'den 27 büyük olduğunu gösterir.
3
Rakam bağıntılarını yazıp sıfırdan ve birbirinden farklı rakam koşuluna göre olası değerleri listeleme
A=B+2A = B + 2 ve C=B+3C = B + 3. BB değerlerine göre:
* B=1  ⟹  A=3,C=4  ⟹  ABC=314B = 1 \implies A = 3, C = 4 \implies ABC = 314
* B=2  ⟹  A=4,C=5  ⟹  ABC=425B = 2 \implies A = 4, C = 5 \implies ABC = 425
* B=3  ⟹  A=5,C=6  ⟹  ABC=536B = 3 \implies A = 5, C = 6 \implies ABC = 536
* B=4  ⟹  A=6,C=7  ⟹  ABC=647B = 4 \implies A = 6, C = 7 \implies ABC = 647
* B=5  ⟹  A=7,C=8  ⟹  ABC=758B = 5 \implies A = 7, C = 8 \implies ABC = 758
* B=6  ⟹  A=8,C=9  ⟹  ABC=869B = 6 \implies A = 8, C = 9 \implies ABC = 869
AA, BB ve CC sıfırdan farklı rakamlar olduğundan ve en büyük rakam C=B+3≤9C = B + 3 \le 9 koşulunu sağladığından BB en fazla 6 değerini alabilir.
4
Eşitsizlik koşulunu kontrol ederek geçerli sayıları belirleme
* ABC=314ABC = 314 i��in CBA=413  ⟹  314+413=727<1000CBA = 413 \implies 314 + 413 = 727 < 1000 (Geçerli)
* ABC=425ABC = 425 için CBA=524  ⟹  425+524=949<1000CBA = 524 \implies 425 + 524 = 949 < 1000 (Geçerli)
* ABC=536ABC = 536 için CBA=635  ⟹  536+635=1171>1000CBA = 635 \implies 536 + 635 = 1171 > 1000 (Geçersiz)

B≥3B \ge 3 için tüm toplamlar 1000'den büyük çıkacaktır. Dolayısıyla sadece 314 ve 425 sayıları koşulları sağlar.
ABC+CBA<1000ABC + CBA < 1000 koşulunu sağlayan durumlar belirlenmelidir.
5
Geçerli sayıların toplamını hesaplama
314+425=739314 + 425 = 739
Soruda istenen, koşulları sağlayan tüm sayıların toplamıdır.

Key Concept

Basamak analizi ve basamak değeri değişimiyle rakamlar arası doğrusal ilişkilerin belirlenmesi ve bu ilişkilerin eşitsizlik sınırlar�� dahilinde çözülmesi.

Alternative Method

ABC+CBAABC + CBA toplamı çözümlenirse 101(A+C)+20B101(A + C) + 20B elde edilir. A=B+2A = B + 2 ve C=B+3C = B + 3 ifadeleri yerine yazıldığında toplam 222B+505222B + 505 olur. Bu ifadenin 10001000'den küçük olması için 222B<495222B < 495 olmalıdır, buradan BB en fazla 22 değerini alabilir. Böylece tek tek denemeden BB'nin sadece 11 ve 22 olabileceği doğrudan bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic