Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel
x!⋅y!=24⋅(x−1)!x! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)!

eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    26
  2. B
    46
  3. 51Answer
  4. D
    55
  5. E
    60

Answer

Farklı x+y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 51'dir.
Denklemin sadeleştirilmiş hali olan x⋅y!=24x \cdot y! = 24 eşitliğinde, y!y! ifadesinin 24'ü tam bölen değerleri (1!,2!,3!,4!1!, 2!, 3!, 4!) incelenir. Bu durumlardan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 25, 14, 7 ve 5'tir. Bu farklı değerlerin toplamı 51 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki x!x! ifadesi, ardışığı olan (x−1)!(x-1)! cinsinden açılır.
x!=x⋅(x−1)!x! = x \cdot (x-1)! özdeşliği kullanılarak denklem x⋅(x−1)!⋅y!=24⋅(x−1)!x \cdot (x-1)! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)! haline getirilir.
Denklemin her iki tarafında yer alan ortak faktöriyel çarpanları sadeleştirmek.
2
Eşitliğin her iki tarafı (x−1)!(x-1)! ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denklemi elde edilir.
xx pozitif bir tam sayı olduğundan (x−1)!(x-1)! ifadesi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirme yapılabilir.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, y!y! ifadesinin 24'ün bir böleni olmas�� gerektiği dikkate alınarak olası tüm yy değerleri değerlendirilir.
Pozitif tam sayı olan yy için olası durumlar:
- y=1  ⟹  1!=1  ⟹  x=24  ⟹  x+y=25y = 1 \implies 1! = 1 \implies x = 24 \implies x+y = 25
- y=2  ⟹  2!=2  ⟹  x=12  ⟹  x+y=14y = 2 \implies 2! = 2 \implies x = 12 \implies x+y = 14
- y=3  ⟹  3!=6  ⟹  x=4  ⟹  x+y=7y = 3 \implies 3! = 6 \implies x = 4 \implies x+y = 7
- y=4  ⟹  4!=24  ⟹  x=1  ⟹  x+y=5y = 4 \implies 4! = 24 \implies x = 1 \implies x+y = 5
y≥5y \geq 5 için y!≥120y! \geq 120 olacağından pozitif tam sayı olan bir xx değeri bulunamaz.
Koşulları sağlayan tüm (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftlere karşılık gelen x+yx+y toplamlarını bulmak.
4
Bulunan farklı x+yx+y değerleri toplanır.
25+14+7+5=5125 + 14 + 7 + 5 = 51 sonucu bulunur.
Soruda bizden istenen farklı toplam değerlerinin genel toplamına ulaşmak.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve pozitif tam sayılarda değer verme analizi

Hints

1
x!x! ifadesini (x−1)!(x-1)! cinsinden yazarak her iki taraftaki ortak terimleri sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirmeden sonra elde edeceğiniz x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denkleminde y!y! ifadesinin alabileceği değerlerin 24'ün böleni olması gerektiğini unutmayın.
3
yy pozitif bir tam sayı olduğuna göre, faktöriyeli 24'ü tam bölen tüm yy değerlerini (1, 2, 3 ve 4) sırasıyla deneyerek her biri için xx ve x+yx+y değerlerini bulun.

Practice More

Farklı bir soru olarak, x!⋅y!=48⋅(x−1)!x! \cdot y! = 48 \cdot (x-1)! eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için xx değerlerinin toplamı sorulabilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, y!y! değerlerini doğrudan 24'ün bölenleri arasından seçip (1,2,6,241, 2, 6, 24), bu değerlere karşılık gelen yy pozitif tam sayılarının varlığını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic