Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)(a, b) sıralı ikilisi vardır?
  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.
Denklemin sağ tarafında 5 asal çarpanı bulunmadığı için aa ve bb değerlerinden en az biri 5'ten küçük olmak zorundadır. Yapılan ayrıntılı durum analizleri sonucunda bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikililerinin (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olduğu görülür. Dolayısıyla eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
Asal çarpan analizi ile değer sınırlandırması yapılması.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c eşitliğinde sağ tarafın asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Sol tarafta eğer a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 olsaydı, her iki faktöriyel de 5 ile tam bölüneceğinden toplam da 5'in katı olurdu. Sağ taraf 5 ile b��lünemediği için aa ve bb sayılarından en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
Değişkenlerin alabileceği değer aralığını daraltmak.
2
Simetri kabulü ile durum sayısının azaltılması.
Simetriden dolayı a≤ba \leq b kabul edilirse a<5a < 5 olmalıdır. Bu durumda a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri incelenmelidir.
Analiz edilecek durum sayısını azaltmak.
3
Belirlenen aa değerleri için denklemin tek tek çözülmesi.
a=1,2,3a=1, 2, 3 değerleri için sağ tarafı 9⋅2c9 \cdot 2^c biçiminde olan bir tam sayı çözümü bulunamaz. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un tam katı olacağından 24+b!24 + b! ifadesi 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir ve 9⋅2c9 \cdot 2^c ile eşitlenemez. Dolayısıyla b<6b < 6 olmalıdır. b≥a=4b \geq a = 4 olduğundan b=4b=4 veya b=5b=5 olabilir. b=4  ⟹  48=9⋅2cb=4 \implies 48 = 9 \cdot 2^c (çözüm yok). b=5  ⟹  144=9⋅2c  ⟹  2c=16  ⟹  c=4b=5 \implies 144 = 9 \cdot 2^c \implies 2^c = 16 \implies c=4 elde edilir. Bu durum geçerli bir çözümdür.
Olası durumları tek tek analiz ederek doğru değerleri tespit etmek.
4
Simetri kaldırılarak tüm sıralı ikililerin belirlenmesi.
a≤ba \leq b koşulu altında bulunan tek çözüm (4,5)(4, 5) olduğundan, tüm pozitif tam sayı çözümleri (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olmak üzere 2 tanedir.
Sıralı ikili tanımı gereği elemanların yer değiştirmesini hesaba katmak.

Key Concept

Faktöriyel içeren denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırma.

Hints

1
a!a! ve b!b! ifadelerinin hangi durumlarda 5 ile tam bölünebileceğini düşünün. Eşitliğin sağ tarafı 5 ile bölünebilir mi?
2
a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 durumunda sol tarafın 5'in katı olduğunu, ancak sağ tarafın olmadığını görün. Bu durumda değişkenlerden en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
3
a≤ba \le b kabul edip aa için 1,2,3,41, 2, 3, 4 değerlerini deneyin. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c olur. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un katı olacağından sol taraf 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir. Bu yüzden b<6b < 6 olmalıdır.

Practice More

Faktöriyel sorularında taban ve asal çarpan sınırlamalarını kavramak adına x!−y!=3c⋅5x! - y! = 3^c \cdot 5 denklemini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic