Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme
İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için,
A+D=11A + D = 11
B+C=8B + C = 8
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, AB+CDAB + CD toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    117
  2. 126Answer
  3. C
    135
  4. D
    140
  5. E
    154

Answer

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark 126'dır.
Çözümlenmiş ifadenin 9(A+C)+199(A+C) + 19 olduğu gösterildikten sonra, AA ve CC değerlerinin sınır koşullarına uygun olarak A+CA+C toplamının en çok 17, en az 3 olabileceği belirlenir. Bu değerler yerine koyulduğunda toplamın alabileceği en büyük değer 172, en küçük değer 46 bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 126'dır.

Step-by-Step Solution

1
ABAB ve CDCD iki basamaklı sayılarını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve CD=10C+DCD = 10C + D olur. Bu iki ifadenin toplamı: AB+CD=10A+B+10C+D=10(A+C)+B+DAB + CD = 10A + B + 10C + D = 10(A + C) + B + D şeklindedir.
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyenlerin katsayılarını ve ilişkilerini netleştirmek için ilk adımdır.
2
Verilen A+D=11A + D = 11 ve B+C=8B + C = 8 eşitliklerini kullanarak tek türden değişken elde edelim.
D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C ifadelerini toplam denkleminde yerine yazarsak: AB+CD=10(A+C)+(8−C)+(11−A)=9(A+C)+19AB + CD = 10(A + C) + (8 - C) + (11 - A) = 9(A + C) + 19 elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak, ifadenin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri belirlemeyi kolaylaştırır.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin birer rakam olması ve ABAB ile CDCD sayılarının iki basamaklı olması koşullarını inceleyelim.
A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{1,2,…,9}C \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır (onlar basamağı sıfır olamaz).
- D=11−AD = 11 - A bir rakam olmalıdır. 0≤11−A≤9  ⟹  2≤A≤110 \le 11 - A \le 9 \implies 2 \le A \le 11 olur. Buradan 2≤A≤92 \le A \le 9 elde edilir.
- B=8−CB = 8 - C bir rakam olmalıdır. 0≤8−C≤9  ⟹  −1≤C≤80 \le 8 - C \le 9 \implies -1 \le C \le 8 olur. Buradan 1≤C≤81 \le C \le 8 elde edilir.
Harflerin rakam olma ve basamak değerlerinin sınırlarını koruma zorunluluğu, sınır değerleri doğru belirlemek için gereklidir.
4
A+CA+C toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bularak toplamın sınırlarını hesaplayalım.
- En büyük değer için: A=9A = 9 ve C=8  ⟹  (A+C)max=17C = 8 \implies (A+C)_{max} = 17 olur. Bu durumda en büyük toplam: 9(17)+19=1729(17) + 19 = 172 olur.
- En küçük değer için: A=2A = 2 ve C=1  ⟹  (A+C)min=3C = 1 \implies (A+C)_{min} = 3 olur. Bu durumda en küçük toplam: 9(3)+19=469(3) + 19 = 46 olur.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlere ulaşmak için elde edilen aralık sınırları kullanılır.
5
En büyük ve en küçük toplam değerleri arasındaki farkı bulalım.
Fark =172−46=126= 172 - 46 = 126 olarak bulunur. (Veya doğrudan 9×((A+C)max−(A+C)min)=9×(17−3)=9×14=1269 \times ((A+C)_{max} - (A+C)_{min}) = 9 \times (17 - 3) = 9 \times 14 = 126 şeklinde de hesaplanabilir.)
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için fark işlemi uygulanır.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam sınırlarının (basamak analizi) doğru belirlenmesi.

Hints

1
ABAB ve CDCD sayılarını 10A+B10A+B ve 10C+D10C+D şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Çözümleme sonrasında elde ettiğiniz ifadede verilen D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C eşitliklerini yerine yazarak ifadeyi sadece AA ve CC cinsinden ifade edin.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin her birinin birer rakam (0-9 arası) olması gerektiğini ve AA ile CC'nin sıfır olamayacağını (iki basamaklı sayıların onlar basamağı oldukları için) dikkate alarak AA ve CC için en büyük ve en küçük değer aralıklarını bulun.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic