Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır.

A+C=8A + C = 8 olduğu ve BB rakamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Bu koşulları sağlayan 2 farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının farkı 99(A−C)=39699(A-C) = 396 eşitliğini verir. Buradan A−C=4A-C = 4 elde edilir. A+C=8A+C = 8 eşitliğiyle birlikte bu sistem çözüldüğünde A=6A=6 ve C=2C=2 rakamlarına ulaşılır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğundan BB rakamı 6 ve 2 değerlerini alamaz. BB'nin çift sayı olduğu kısıtlamasıyla birlikte geriye yalnızca 4 ve 8 rakamları kalır. Dolayısıyla 2 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının basamak çözümlemesini yapıp farklarını hesaplayalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=396ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 396
Sayıların çözümlenmesiyle elde edilen ortak 99(A−C)99(A-C) çarpanı sayesinde çıkarma işlemini sadeleştirmek.
2
99(A−C)=39699(A - C) = 396 eşitliğinden yararlanarak A ve C rakamlarının değerlerini bulalım.
A−C=4A - C = 4
Verilen A+C=8A + C = 8 eşitliğiyle bu denklemi taraf tarafa toplarsak:
2A=12  ⟹  A=62A = 12 \implies A = 6
C=2C = 2
bulunur.
İki bilinmeyenli iki denklemin ortak çözümüyle A ve C rakamlarını kesin olarak belirlemek.
3
Bulunan A ve C değerleri ile verilen kısıtlamaları kullanarak B rakamının alabileceği değerleri belirleyelim.
ABCABC sayısının rakamları sıfırdan ve birbirinden farklıdır. Bu yüzden BB rakamı 0, 2 ve 6 olamaz. Ayrıca BB rakamının çift sayı olduğu belirtilmiştir. Çift rakamlar {0,2,4,6,8}\{0, 2, 4, 6, 8\} kümesidir. Koşulları sağlayan BB değerleri sadece 44 ve 88 rakamlarıdır. Bu durumda yazılabilecek ABCABC sayıları 642 ve 682 olup toplam 2 tanedir.
Soruda verilen tüm rakamsal kısıtlamaları (sıfırdan farklı, birbirinden farklı, çift rakam) bir araya getirerek olası ABCABC sayılarının adedini bulmak.

Key Concept

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre basamak değerlerinin analizi.
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic