Examkin

Question

Difficulty: MediumDoğru Denklemi Oluşturma

Bir dd doğrusu, koordinat düzleminde A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçmekte ve 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunu dik kesmektedir. Buna göre, dd doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3x+2y+4=03x + 2y + 4 = 0
  2. B
    2x−3y+19=02x - 3y + 19 = 0
  3. 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0Answer
  4. D
    3x−2y+16=03x - 2y + 16 = 0
  5. E
    2x+3y−11=02x + 3y - 11 = 0

Answer

3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 denklemi
Verilen doğrunun eğimi 23\frac{2}{3} olarak bulunur. Aranan doğru bu doğruyu dik kestiği için eğimi −32-\frac{3}{2} olmalıdır. Eğimi −32-\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılıp düzenlendiğinde 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini (m1m_1) bulalım.
Doğru denklemini y=mx+ny = mx + n biçiminde düzenlersek: 3y=2x+6  ⟹  y=23x+23y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2 olur. Buradan eğim m1=23m_1 = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Bir doğrunun denklemi biliniyorsa, yy yalnız bırakıldığında xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Aranan dd doğrusunun eğimini (m2m_2) diklik koşulunu kullanarak belirleyelim.
Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1). Buradan 23⋅m2=−1  ⟹  m2=−32\frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{3}{2} bulunur.
İki doğrunun dik kesişmesi durumu, eğimlerinin çarpımının −1-1 olmasını gerektirir.
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım.
y−y1=m2(x−x1)y - y_1 = m_2(x - x_1) formülünde değerleri yerine koyalım: y−5=−32(x−(−2))  ⟹  y−5=−32(x+2)y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) \implies y - 5 = -\frac{3}{2}(x + 2). İçler dışlar çarpımı yaparsak: 2(y−5)=−3(x+2)  ⟹  2y−10=−3x−6  ⟹  3x+2y−4=02(y - 5) = -3(x + 2) \implies 2y - 10 = -3x - 6 \implies 3x + 2y - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart doğru denklemi yazma formülü kullanılır.

Key Concept

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bir noktası ile eğimi bilinen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülü ile bulunur.

Hints

1
İlk olarak verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak için y'yi yalnız bırakın.
2
Bulduğunuz eğim m1m_1 ise, aradığınız doğrunun eğimi m2m_2 ile çarpımı −1-1 olmalıdır (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olarak bulduktan sonra, A(−2,5)A(-2, 5) noktasını kullanarak y−5=−32(x−(−2))y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) denklemini kurup düzenleyin.

Practice More

Benzer şekilde, verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan doğrunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusuna dik olan tüm doğrular 3x+2y+C=03x + 2y + C = 0 formatındadır. A(−2,5)A(-2, 5) noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre denklemde yerine yazarak CC sabitini bulabiliriz: 3(−2)+2(5)+C=0  ⟹  −6+10+C=0  ⟹  4+C=0  ⟹  C=−43(-2) + 2(5) + C = 0 \implies -6 + 10 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4. Buradan denklem 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 olarak bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Doğru Denklemi Oluşturma

More questions from this topic