Examkin

Doğru Denklemi Oluşturma

5 questions

Question 1Question →

Analitik düzlemde, köşelerinin koordinatları A(2,9)A(2, 9), B(−1,5)B(-1, 5) ve C(−6,3)C(-6, 3) olan bir ABCABC üçgeni verilmiştir.

Buna göre, bu üçgenin AA köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: x−y+7=0x - y + 7 = 0

Answer

A köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi x−y+7=0x - y + 7 = 0 şeklindedir.
İç açıortay teoremi kullanılarak BCBC kenarı üzerindeki kesim noktası olan DD noktasının koordinatları D(−83,133)D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right) olarak bulunur. A(2,9)A(2,9) ve DD noktalarından geçen doğrunun eğimi m=1m=1 olarak hesaplanır. Bu eğim ve AA noktası kullanılarak yazılan doğru denklemi x−y+7=0x - y + 7 = 0 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin ABAB ve ACAC kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.
AB=5AB = 5 birim ve AC=10AC = 10 birim olarak bulunur.
İç açıortay teoremi gereği, açıortayın karşı kenarı böldüğü oran, komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir.
2
Açıortayın BCBC kenarını kestiği D(xD,yD)D(x_D, y_D) noktasının koordinatlarını içten bölen nokta formülüyle bulun.
DD noktasının koordinatları D(−83,133)D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right) olarak elde edilir.
AB/AC=5/10=1/2AB/AC = 5/10 = 1/2 olduğundan, DD noktası BCBC segmentini BD/DC=1/2BD/DC = 1/2 oranında böler.
3
A(2,9)A(2, 9) ve D(−83,133)D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right) noktalarından geçen doğrunun eğimini (mm) hesaplayın.
Doğrunun eğimi m=1m = 1 olarak hesaplanır.
Doğru denklemini yazmak için öncelikle doğrunun eğimini belirlemek gerekir.
4
Eğimi m=1m = 1 olan ve A(2,9)A(2, 9) noktasından geçen doğrunun denklemini y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle yazın.
y−9=1(x−2)  ⟹  x−y+7=0y - 9 = 1(x - 2) \implies x - y + 7 = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart formül uygulanır.

Key Concept

İç açıortay teoremi yardımıyla oran tespiti, doğru parçasını belirli oranda bölen nokta koordinatları ve eğimi ile bir noktası bilinen doğru denkleminin oluşturulması.

Hints

1
Öncelikle üçgenin ABAB ve ACAC kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla hesaplayın.
2
İç açıortay teoremini kullanarak açıortayın BCBC kenarını kestiği DD noktasının bu kenarı hangi oranda (BD/DCBD/DC) böldüğünü bulun ve DD noktasının koordinatlarını belirleyin.
3
A(2,9)A(2,9) ve bulduğunuz DD noktasının koordinatlarını kullanarak iki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayın ve ardından doğru denklemi formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer analitik yöntemleri kullanarak bir üçgenin dış açıortay doğrusunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın üçgenin ABAB ve ACAC kenarlarını taşıyan doğrulara olan dik uzaklıkları birbirine eşittir. ABAB ve ACAC doğrularının denklemleri yazılıp, noktaların doğrulara olan uzaklık formülleri eşitlenerek de açıortay denklemi elde edilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 2Question →

Analitik düzlemde, eğimi 22 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 2x−y+7=02x - y + 7 = 0

Answer

Doğrunun denklemi 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 olarak bulunur.
Eğimi m=2m=2 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2)) formülüyle kurulur. Buradan y−3=2x+4y - 3 = 2x + 4 ve düzenlendiğinde 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 denklemi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Doğru denklemini oluşturmak için genel formülü yazalım.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini veren temel bağıntı budur.
2
Verilen eğim (m=2m = 2) ve nokta koordinatlarını (x1=−2x_1 = -2, y1=3y_1 = 3) formülde yerine yazalım.
y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2))
Doğru üzerindeki noktayı ve doğrunun eğimini denklemde tanımlamak için.
3
Parantezi açıp denklemi düzenleyelim.
y−3=2(x+2)  ⟹  y−3=2x+4  ⟹  2x−y+7=0y - 3 = 2(x + 2) \implies y - 3 = 2x + 4 \implies 2x - y + 7 = 0
Denklemi standart ax+by+c=0ax + by + c = 0 biçimine getirmek için.

Key Concept

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denkleminin yazılması

Hints

1
Eğimi mm olan ve (x1,y1)(x_1, y_1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle bulunur.

Practice More

Farklı koordinat bölgelerinde verilen noktalar ve negatif/pozitif eğim değerleri ile doğru denklemi yazma pratikleri yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 3Question →

Analitik düzlemde, A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen ve 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaların orta noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0

Answer

6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi doğru cevaptır.
Verilen doğrunun eksenleri kestiği (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktası (32,1)\left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak hesaplanır. Bu nokta ile A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen doğrunun eğimi −65-\frac{6}{5} olup, y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) bağıntısından aradığımız doğru denklemi 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Doğru, y=0y = 0 için x=3x = 3 noktasında yani (3,0)(3, 0) noktasında x-eksenini keser. x=0x = 0 için y=2y = 2 noktasında yani (0,2)(0, 2) noktasında y-eksenini keser.
Aranan doğrunun geçtiği orta noktayı hesaplamak için öncelikle eksen kesişim noktalarını belirlememiz gerekir.
2
Eksenleri kesen (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktasını hesaplayınız.
Orta nokta formülünden, orta nokta koordinatları M(3+02,0+22)=(32,1)M\left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak bulunur.
Soruda istenen ikinci noktanın koordinatlarını tespit etmek amacıyla orta nokta hesaplanır.
3
A(−1,4)A(-1, 4) ve M(32,1)M\left(\frac{3}{2}, 1\right) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Eğim formülünden m=y2−y1x2−x1=1−432−(−1)=−352=−65m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{\frac{3}{2} - (-1)} = \frac{-3}{\frac{5}{2}} = -\frac{6}{5} elde edilir.
Doğru denklemini yazmak için gereken eğim değerini elde etmek.
4
Eğimi ve geçtiği noktası bilinen doğrunun denklemini oluşturunuz.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülünden y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) yazılır. Buradan 5y−20=−6x−65y - 20 = -6x - 6 ve düzenlendiğinde 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi bulunur.
Elde edilen verileri kullanarak aranan doğrunun genel denklemini oluşturmak.

Key Concept

İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulma ve doğru denklemi yazma

Alternative Method

Seçeneklerdeki doğru denklemlerinde A(−1,4)A(-1, 4) noktası yerine yazılarak test edilebilir. Doğru seçenekte −1-1 ve 44 yazıldığında 6(−1)+5(4)−14=−6+20−14=06(-1) + 5(4) - 14 = -6 + 20 - 14 = 0 eşitliği sağlanır, diğer seçeneklerde bu eşitlik sağlanmaz.
Estimated Time:1m 30s
Question 4Question →

Bir dd doğrusu, koordinat düzleminde A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçmekte ve 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunu dik kesmektedir. Buna göre, dd doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0

Answer

3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 denklemi
Verilen doğrunun eğimi 23\frac{2}{3} olarak bulunur. Aranan doğru bu doğruyu dik kestiği için eğimi −32-\frac{3}{2} olmalıdır. Eğimi −32-\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılıp düzenlendiğinde 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini (m1m_1) bulalım.
Doğru denklemini y=mx+ny = mx + n biçiminde düzenlersek: 3y=2x+6  ⟹  y=23x+23y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2 olur. Buradan eğim m1=23m_1 = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Bir doğrunun denklemi biliniyorsa, yy yalnız bırakıldığında xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Aranan dd doğrusunun eğimini (m2m_2) diklik koşulunu kullanarak belirleyelim.
Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1). Buradan 23⋅m2=−1  ⟹  m2=−32\frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{3}{2} bulunur.
İki doğrunun dik kesişmesi durumu, eğimlerinin çarpımının −1-1 olmasını gerektirir.
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım.
y−y1=m2(x−x1)y - y_1 = m_2(x - x_1) formülünde değerleri yerine koyalım: y−5=−32(x−(−2))  ⟹  y−5=−32(x+2)y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) \implies y - 5 = -\frac{3}{2}(x + 2). İçler dışlar çarpımı yaparsak: 2(y−5)=−3(x+2)  ⟹  2y−10=−3x−6  ⟹  3x+2y−4=02(y - 5) = -3(x + 2) \implies 2y - 10 = -3x - 6 \implies 3x + 2y - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart doğru denklemi yazma formülü kullanılır.

Key Concept

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bir noktası ile eğimi bilinen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülü ile bulunur.

Hints

1
İlk olarak verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak için y'yi yalnız bırakın.
2
Bulduğunuz eğim m1m_1 ise, aradığınız doğrunun eğimi m2m_2 ile çarpımı −1-1 olmalıdır (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olarak bulduktan sonra, A(−2,5)A(-2, 5) noktasını kullanarak y−5=−32(x−(−2))y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) denklemini kurup düzenleyin.

Practice More

Benzer şekilde, verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan doğrunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusuna dik olan tüm doğrular 3x+2y+C=03x + 2y + C = 0 formatındadır. A(−2,5)A(-2, 5) noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre denklemde yerine yazarak CC sabitini bulabiliriz: 3(−2)+2(5)+C=0  ⟹  −6+10+C=0  ⟹  4+C=0  ⟹  C=−43(-2) + 2(5) + C = 0 \implies -6 + 10 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4. Buradan denklem 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 olarak bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 5Question →

Analitik düzlemde, 2x−y−4=02x - y - 4 = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle oluşturduğu dik üçgenin alanı 99 birimkare olan doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 2x−y+6=02x - y + 6 = 0

Answer

2x−y+6=02x - y + 6 = 0 denklemiyle verilen doğrudur.
İstenen doğru verilen doğruya paralel olduğu için eğimi aynı olmalıdır, yani eğim 2'dir. Bu durumda doğrunun genel denklemi 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklinde kurulur. Bu doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı CC, x-eksenini kestiği noktanın apsisi ise −C2-\frac{C}{2} olur. Koordinat eksenleriyle sınırlanan bölge bir dik üçgen olup alanı 12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24\frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} formülüyle hesaplanır. Alanın 9 birimkare olduğu verildiğine göre C2=36C^2 = 36 ve buradan C=6C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur. Buna göre aranan doğrulardan biri 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek.
2x−y−4=0  ⟹  y=2x−42x - y - 4 = 0 \implies y = 2x - 4 yazıldığında eğim m=2m = 2 olarak bulunur.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Eğimi 22 olan genel doğru denklemini yazıp eksenleri kestiği noktaları bulmak.
Aradığımız doğru 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklindedir. x=0x = 0 için y=Cy = C ve y=0y = 0 için x=−C2x = -\frac{C}{2} elde edilir.
Eksenleri kesim noktaları, doğrunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını verir.
3
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin alan formülünü uygulamak.
A=12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24A = \frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} olur. Alan 99 birimkare olduğundan C24=9  ⟹  C2=36  ⟹  C=6\frac{C^2}{4} = 9 \implies C^2 = 36 \implies C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur.
Koordinat eksenleri orijinde dik kesiştiğinden oluşan bölge bir dik üçgendir.
4
Doğru denklemini oluşturmak.
C=6C = 6 için denklem 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 olur. Bu denklem seçeneklerde mevcuttur.
Bulunan olası iki doğrudan birisi seçeneklerde yer almaktadır.

Key Concept

Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla doğru denklemi oluşturma.
Doğru Denklemi Oluşturma Practice Questions — ALES | Examkin