Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar
x,yx, y ve zz pozitif tam sayıları için
(x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. x⋅zx \cdot z
II. xy+zx^y + z
III. x+y+zx + y + z

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIAnswer
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Yalnız II ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan x + y ve y + z ifadelerinin tek olduğu anlaşılır. y tek ise x ve z çift; y çift ise x ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z aynı teklik-çiftlik durumundadır. y pozitif tam sayı olduğu için x^y ile x aynı teklik-çiftlik karakterindedir. Aynı karaktere sahip iki sayının toplamı her zaman çift olacağından x^y + z toplamı daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
(x + y) * (y + z) çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların teklik-çiftlik durumları belirlenir.
x + y tek sayıdır ve y + z tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
y sayısının tek veya çift olma durumlarına göre x ve z sayılarının teklik-çiftlik durumları analiz edilir.
Durum 1: y tek ise x çift ve z çift olur. Durum 2: y çift ise x tek ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z sayıları aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek ise diğeri çift olmak zorundadır.
3
Öncüller elde edilen durumlara göre tek tek değerlendirilir.
I. öncülde x * z çarpımı x ve z tek olduğunda tek olur. II. öncülde y pozitif tam sayı olduğundan x^y ile x aynı karakterdedir ve x ile z her zaman aynı karakterde olduğundan x^y + z toplamı daima çifttir. III. öncülde x + y + z toplamı y tek olduğunda çift + tek + çift = tek olur.
Teklik ve çiftlik kuralları öncüllere uygulanarak her zaman çift sayı veren ifade belirlenir.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic