Examkin

Question

Difficulty: HardSilindir

Taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kap, tabanı yatay düzlemle 45∘45^\circ lik açı yapacak biçimde eğilerek bir miktar suyun dökülmesi sağlanıyor. Kap tekrar dik konuma getirildikten sonra içine yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan küre şeklinde demir bir bilye atılıyor.

Buna göre, son durumda kapta kalan suyun hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

  1. A
    54
  2. 72Answer
  3. C
    81
  4. D
    90
  5. E
    99

Answer

Son durumda kapta kalan suyun hacmi 72π cm372\pi\text{ cm}^3 olur.
Silindir 45∘45^\circ eğildiğinde dökülen suyun hacmi 27π cm327\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur ve geriye 81π cm381\pi\text{ cm}^3 su kalır. Kaptaki boş hacim 27π cm327\pi\text{ cm}^3 olur. Kaba yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan bir demir bilye atıldığında, bilyenin hacmi 36π cm336\pi\text{ cm}^3 olduğundan bu hacim kaptaki boşluğu aşar ve 9π cm39\pi\text{ cm}^3 suyun taşmasına neden olur. Sonuç olarak kapta kalan su hacmi 81π−9π=72π cm381\pi - 9\pi = 72\pi\text{ cm}^3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin toplam hacmini hesaplama.
Vsilindir=π⋅r2⋅h=π⋅32⋅12=108π cm3V_{\text{silindir}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 = 108\pi\text{ cm}^3
Kabın başlangıçtaki toplam su kapasitesini bulmak için silindirin hacim formülü uygulanır.
2
Kap 45∘45^\circ eğildiğinde dökülen suyun (oluşan hava boşluğunun) hacmini hesaplama.
Eğik konumdaki hava boşluğunun yüksekliği x=2r⋅tan⁡45∘=6⋅1=6 cmx = 2r \cdot \tan 45^\circ = 6 \cdot 1 = 6\text{ cm} olur. Boşluğun hacmi: Vbos¸=12πr2x=12π⋅32⋅6=27π cm3V_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \pi r^2 x = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 27\pi\text{ cm}^3
Eğilme sonucu dökülen su miktarını bulmak için oluşan kesik silindir şeklindeki boşluğun hacmi hesaplanır.
3
Kap tekrar dik konuma getirildiğinde kalan suyun hacmini ve boşluğun hacmini belirleme.
Kalan su hacmi: 108π−27π=81π cm3108\pi - 27\pi = 81\pi\text{ cm}^3. Kaptaki boş kısmın hacmi ise dökülen suyun hacmine eşit olup 27π cm327\pi\text{ cm}^3 olur.
Bilye atılmadan önceki su ve boşluk hacimlerini netleştirerek taşma durumunu analiz etmek için.
4
İçeri atılan küre şeklindeki demir bilyenin hacmini hesaplama.
Vbilye=43πR3=43π⋅33=36π cm3V_{\text{bilye}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 36\pi\text{ cm}^3
Bilyenin ne kadarlık bir hacim kaplayacağını ve ne kadar su taşıracağını belirlemek için küre hacim formülü kullanılır.
5
Bilye atıldıktan sonra taşan su miktarını ve kalan su hacmini hesaplama.
Bilyenin hacmi (36π cm336\pi\text{ cm}^3) kaptaki boşluk hacminden (27π cm327\pi\text{ cm}^3) büyük olduğu için su taşar. Taşan su hacmi: 36π−27π=9π cm336\pi - 27\pi = 9\pi\text{ cm}^3 olur. Son durumda kalan su hacmi: 81π−9π=72π cm381\pi - 9\pi = 72\pi\text{ cm}^3 olur.
Kaba atılan bilyenin taşırdığı su hacmi düşüldükten sonra kapta kalan net su hacmini bulmak için.

Key Concept

Eğik silindir hacim ilişkisi ve cisimlerin sıvı içinde yer değiştirdiği hacim prensibi.

Hints

1
Silindir eğildiğinde dökülen suyun hacmi, oluşan kesik silindir biçimindeki hava boşluğunun hacmine eşittir.
2
Küre kaba atıldığında hacmi kadar suyu yer değiştirir. Eğer kürenin hacmi kaptaki boş hacimden büyükse su taşacaktır.

Practice More

Silindirin eğim açısının daha büyük olduğu ve bilyenin tamamen batmadığı veya suyun taşmadığı durumları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Bilye kaba atıldığında tamamen batmaktadır. Son durumda kap ağzına kadar su ve bilye ile dolu olacağından, kapta kalan suyun hacmi doğrudan silindirin toplam hacminden bilyenin hacmi çıkarılarak da bulunabilir: Vkalan su=Vsilindir−Vbilye=108π−36π=72π cm3V_{\text{kalan su}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{bilye}} = 108\pi - 36\pi = 72\pi\text{ cm}^3.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Silindir

More questions from this topic