Examkin

Question

Difficulty: MediumÇember ve Daire

Bir daire diliminin merkez açısı 120∘120^\circ ve çevre uzunluğu 12+4π cm12 + 4\pi\text{ cm}'dir. Buna göre, bu daire diliminin alanı kaç π cm2\pi\text{ cm}^2 dir?

  1. A
    4
  2. 12Answer
  3. C
    18
  4. D
    24
  5. E
    36

Answer

Daire diliminin alanı 12\pi cm² olarak bulunur.
Daire diliminin çevre uzunluğu, iki yarıçap uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamına eşittir. Buradan yarıçap uzunluğu 6 cm olarak elde edilir. Yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 120 derece olan daire diliminin alanı ise 12\pi olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Daire diliminin çevre uzunluğu formülünü yazmak.
Çevre = 2r+θ360⋅2πr2r + \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r
Bir daire diliminin çevre uzunluğu, dilimi sınırlayan iki yarıçapın uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamıdır.
2
Verilen değerleri çevre formülünde yerine koyarak yarıçapı (rr) bulmak.
2r+120360⋅2πr=12+4π  ⟹  r(2+23π)=12+4π  ⟹  r=6 cm2r + \frac{120}{360} \cdot 2\pi r = 12 + 4\pi \implies r\left(2 + \frac{2}{3}\pi\right) = 12 + 4\pi \implies r = 6\text{ cm}
Merkez açı θ=120∘\theta = 120^\circ ve çevre 12+4π12 + 4\pi olarak verilmiştir.
3
Bulunan yarıçap değeri ile daire diliminin alanını hesaplamak.
Alan = 120360⋅πr2=13⋅π⋅62=12π cm2\frac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 = 12\pi\text{ cm}^2
Daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının merkez açının 360∘360^\circ'ye oranına çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Daire Diliminin Çevresi ve Alanı

Alternative Method

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu (LL) ve yarıçap (rr) bilindiğinde Alan=L⋅r2\text{Alan} = \frac{L \cdot r}{2} formülüyle de hesaplanabilir. Burada yay uzunluğu L=4πL = 4\pi ve yarıçap r=6r = 6 olduğundan, Alan=4π⋅62=12π\text{Alan} = \frac{4\pi \cdot 6}{2} = 12\pi bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic