O merkezli çeyrek dairenin içine; [OA] yarıçapına, [OB] yarıçapına ve çeyrek çemberin yayı… — ALES

$O$ merkezli çeyrek dairenin içine; $[OA]$ yarıçapına, $[OB]$ yarıçapına ve çeyrek çemberin yayına teğet olan $M$ merkezli bir daire yerleştirilmiştir. Çeyrek dairenin yarıçapı $6 + 6\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre, çeyrek dairenin içinde olup $M$ merkezli dairenin dışında kalan boyalı bölgenin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ 'dir?

A
$18\sqrt{2} + 15$
B
$18\sqrt{2} + 27$
$18\sqrt{2} - 9$ Answer
D
$9\sqrt{2} + 18$
E
$18\sqrt{2} + 9$

Answer

Boyalı bölgenin alanı

18\sqrt{2} - 9

\pi\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Çeyrek dairenin yarıçapı

R = 6(\sqrt{2} + 1)

olarak yazıldığında, iç teğet dairenin yarıçapı ile ilişkisi

R = r(\sqrt{2} + 1)

olduğundan içteki dairenin yarıçapı

r = 6\text{ cm}

bulunur. Çeyrek dairenin alanı

A_{\text{çeyrek}} = \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi (6 + 6\sqrt{2})^2 = (27 + 18\sqrt{2})\pi

ve içteki dairenin alanı

A_{\text{daire}} = \pi r^2 = 36\pi

olur. Aradaki fark alındığında

(18\sqrt{2} - 9)\pi

alanına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Merkezler arası ilişkiyi kurma

OM = r\sqrt{2}

İçteki daire dik kesişen yarıçaplara teğet olduğundan, merkezinin başlangıç noktasına uzaklığı bir kenarı

r

olan karenin köşegenidir.

Çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki dairenin yarıçapı arasındaki bağıntıyı yazma

R = r(\sqrt{2} + 1)

Merkezden teğet noktasına kadar olan toplam mesafe çeyrek dairenin yarıçapı

R

'ye eşittir.

İçteki dairenin yarıçapını bulma

r = 6\text{ cm}

6(\sqrt{2} + 1) = r(\sqrt{2} + 1)

eşitliğinden

r

çekilir.

Çeyrek dairenin alanını hesaplama

A_{\text{çeyrek}} = (27 + 18\sqrt{2})\pi\text{ cm}^2

Çeyrek daire alanı

A = \frac{1}{4}\pi R^2

formülü ile bulunur.

İçteki dairenin alanını hesaplama

A_{\text{daire}} = 36\pi\text{ cm}^2

Daire alanı

A = \pi r^2

formülü ile bulunur.

Boyalı bölgenin alanını hesaplama

A_{\text{boyalı}} = (18\sqrt{2} - 9)\pi\text{ cm}^2

Çeyrek dairenin alanından içteki dairenin alanı çıkarılır.

Key Concept

Çeyrek daire ve içine çizilen teğet dairenin alan ilişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic