Examkin

Question

Difficulty: MediumÇember ve Daire

Bir OO merkezli çemberde, uzunlukları 12 cm12\text{ cm} ve 16 cm16\text{ cm} olan birbirine paralel iki kiriş çiziliyor. Bu kirişler arasındaki uzaklık 2 cm2\text{ cm} olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç  cm\text{ cm}'dir?

  1. A
    8
  2. 10Answer
  3. C
    12
  4. D
    14
  5. E
    20

Answer

Çemberin yarıçapı 10 cm'dir.
Doğru cevap olan 10 cm seçeneği, çemberin merkezinden kirişlere inilen dikmelerin kirişleri ortalaması kuralı ve Pisagor bağıntısı kullanılarak bulunur. 12 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı y, 16 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı x ve yarıçap r ise; r^2 = x^2 + 64 ve r^2 = y^2 + 36 denklemleri kurulur. Kirişler arası uzaklık y - x = 2 cm olduğundan, denklemlerin eşitliğinden y^2 - x^2 = 28 bulunur. Buradan (y - x)(y + x) = 28 bağıntısıyla y + x = 14 elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde x = 6 cm ve y = 8 cm bulunur. Pisagor teoremiyle r^2 = 6^2 + 8^2 = 100 bağıntısından yarıçap r = 10 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Çemberin merkezinden paralel kirişlere dikmeler indirin.
Merkezden inilen dikme kirişleri iki eş parçaya böler. 12 cm'lik kirişin yarısı 6 cm, 16 cm'lik kirişin yarısı 8 cm olur.
Çemberde merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar geometrik kuralını uygulamak için.
2
Merkezden kirişlere olan dik uzaklıkları tanımlayarak Pisagor bağıntılarını yazın.
16 cm'lik kirişe olan uzaklık x, 12 cm'lik kirişe olan uzaklık y olsun. Yarıçap r olmak üzere; r^2 = x^2 + 8^2 ve r^2 = y^2 + 6^2 elde edilir.
Yarıçap, merkezden kirişin uç noktalarına çizilen doğrularla dik üçgenler oluşturularak bulunur.
3
Kirişler arasındaki uzaklığı kullanarak x ve y arasındaki ili��kiyi belirleyin.
Kirişler paralel ve merkezin aynı tarafında olduğundan y - x = 2 cm olur.
Soruda verilen kirişler arası mesafeyi cebirsel denkleme dökmek için.
4
İki Pisagor denklemini eşitleyerek y^2 - x^2 farkını bulun.
y^2 + 36 = x^2 + 64 => y^2 - x^2 = 28.
r^2 ortak terimini yok ederek x ve y değişkenlerine bağlı bir denklem elde etmek için.
5
İki kare farkı özdeşliğini uygulayarak y + x değerini bulun.
(y - x)(y + x) = 28 => 2(y + x) = 28 => y + x = 14.
y - x = 2 değerini denklemde yerine koyup y + x toplamına ulaşmak için.
6
y - x = 2 ve y + x = 14 denklem sistemini çözerek x ve y değerlerini hesaplayın.
Taraf tarafa toplandığında 2y = 16 => y = 8 cm ve x = 6 cm bulunur.
Bilinmeyen uzaklık değerlerini kesinleştirmek için.
7
Bulunan x değerini kullanarak yarıçapı hesaplayın.
r^2 = 6^2 + 8^2 => r^2 = 100 => r = 10 cm bulunur.
Pisagor üçgeninden yarıçap uzunluğunu elde etmek için.

Key Concept

Çemberde kiriş özellikleri ve Pisagor teoreminin uygulanması

Hints

1
Çemberin merkezinden kirişlere dik doğrular çizerek iki adet dik üçgen oluşturun.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic