Examkin

Question

Difficulty: MediumKartezyen Çarpım
AA ve BB kümeleri için,
s(A∖B)=3s(A \setminus B) = 3
s(B∖A)=4s(B \setminus A) = 4
s((A∩B)×(A∪B))=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = 30
olduğuna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    13
  3. C
    24
  4. D
    30
  5. 42Answer

Answer

42
Verilen fark kümeleri ve kartezyen çarpım eleman sayısı ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı 33 olarak belirlenir. Buradan AA kümesinin eleman sayısı 66, BB kümesinin eleman sayısı 77 bulunur. Kartezyen çarpım tanımı gereği bu iki değer çarpıldığında 6⋅7=426 \cdot 7 = 42 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını bir değişken ile ifade edip birleşim kümesinin eleman sayısını bu değişken cinsinden yazalım.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)=3+4+x=7+xs(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 3 + 4 + x = 7 + x olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünde kullanmak üzere birleşim kümesinin eleman sayısını kesişim kümesine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.
2
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak bir denklem kuralım.
s((A∩B)×(A∪B))=s(A∩B)⋅s(A∪B)=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cup B) = 30 olduğundan, x⋅(7+x)=30x \cdot (7 + x) = 30 denklemi elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözelim.
x2+7x−30=0  ⟹  (x+10)(x−3)=0x^2 + 7x - 30 = 0 \implies (x + 10)(x - 3) = 0 olur. xx bir kümenin eleman sayısı olduğundan negatif olamaz (x≥0x \geq 0), bu yüzden x=3x = 3 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını net olarak belirlemek için denklemin pozitif kökünü bulmamız gerekir.
4
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarını hesaplayalım.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3+3=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3 + 3 = 6 ve s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=4+3=7s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4 + 3 = 7 olarak bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulabilmek için ��ncelikle çarpımı oluşturan kümelerin kendi eleman sayılarını bulmalıyız.
5
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=6⋅7=42s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 6 \cdot 7 = 42 elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y).

Hints

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülüyle bulabileceğinizi hatırlayın.
2
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x diyerek verilen kartezyen çarpım eleman sayısından yararlanıp xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3
x(7+x)=30x(7 + x) = 30 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini bulduktan sonra s(A)=3+xs(A) = 3 + x ve s(B)=4+xs(B) = 4 + x eşitliklerini kullanarak kümelerin eleman sayılarını bulun.

Practice More

Kümelerin kartezyen çarpımının grafik üzerindeki gösterimi ve oluşturduğu kapalı bölgenin alanını bulma ile ilgili soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayılarını yerleştirebilirsiniz. Kesişim bölgesine xx yazıldığında, AA kümesinin kalan kısmına 33, BB kümesinin kalan kısmına 44 yazılır. Kesişim kümesinin eleman sayısı xx, birleşim kümesinin eleman sayısı x+7x + 7 olur. Bu iki bölgenin eleman sayılarının çarpımı 3030 olacağından, çarpımları 3030 ve aralarındaki fark 77 olan pozitif tam sayıları düşünürsek bu sayıların 33 ve 1010 olduğu kolayca görülür. Buradan x=3x = 3 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic