Examkin

Question

Difficulty: HardKüre

Taban yarıçapı 6 birim6\text{ birim} ve yüksekliği 3 birim3\text{ birim} olan dik dairesel silindir biçimindeki üstü açık boş bir kap, tamamen suyla doludur. Bu kabın içine yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan küre biçiminde demir bir bilye yavaşça bırakılıyor. Bilye kabın tabanına oturduğuna göre, kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı kaçtır?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. 15\frac{1}{5}Answer
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    11

Answer

Kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru cevap olan oran 15\frac{1}{5}'tir. Silindirin toplam hacmi 108π108\pi birimküp olarak hesaplanır. Yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan kürenin, 3 birim3\text{ birim} yüksekliğindeki silindire tabandan oturtulduğunda yalnızca alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi 18π18\pi birimküp olup taşan su hacmine eşittir. Kalan su hacmi ise 108π−18π=90π108\pi - 18\pi = 90\pi birimküptür. Buradan taşan suyun kalan suya oranı 18π90π=15\frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅R2⋅H=π⋅62⋅3=108πV_{\text{silindir}} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi birimküp
Başlangıçta kap tamamen dolu olduğundan, suyun ilk hacmi silindirin toplam hacmine eşittir.
2
Kürenin silindir içinde kalan (suya batan) kısmının hacmini belirleyiniz.
Kürenin yarıçapı r=3 birimr = 3\text{ birim} ve silindirin yüksekliği H=3 birimH = 3\text{ birim}'dir. Küre tabana oturduğunda, kürenin merkezinin tabana olan uzaklığı yarıçapı kadar (3 birim3\text{ birim}) olur. Silindirin yüksekliği de tam olarak 3 birim3\text{ birim} olduğundan, kürenin merkezi silindirin üst sınır hizasındadır. Dolayısıyla kürenin sadece alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi: Vbatan=12⋅(43π⋅r3)=23π⋅33=18πV_{\text{batan}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi birimküp
Silindirden taşan suyun hacmi, kürenin suya batan kısmının hacmine eşittir.
3
Kapta kalan suyun hacmini bulunuz.
Vkalan=Vsilindir−Vbatan=108π−18π=90πV_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{batan}} = 108\pi - 18\pi = 90\pi birimküp
Kalan suyun hacmi, başlangıçtaki toplam su hacminden taşan su hacmi çıkarılarak bulunur.
4
Taşan suyun hacmini kalan suyun hacmine oranlayınız.
Oran=VbatanVkalan=18π90π=15\text{Oran} = \frac{V_{\text{batan}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5}
Soruda bizden istenen taşan suyun kalan suya oranıdır.

Key Concept

Küre ve silindirin hacim bağıntıları ile batan cisimlerin hacmi kadar sıvı taşırması prensibi.

Hints

1
Bilye tabana oturduğunda kürenin en üst noktasının yerden yüksekliği ile silindirin yüksekliğini karşılaştırın.
2
Silindirin yüksekliği 3 birim3\text{ birim} ve kürenin yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olduğuna göre, kürenin merkezinin silindirin üst yüzey hizasında kaldığını fark edin. Bu durumda kürenin ne kadarlık bir kısmı suyun içindedir?
3
Kürenin tam hacmi 36π36\pi birimküptür. Kürenin yarısı silindirin içinde kaldığından taşan suyun hacmi 18π18\pi birimküptür. Kalan su hacmini bulup oranlama yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yarısı su dolu bir silindire küre atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini veya suyun taşma sınırına ulaşıp ulaşmayacağını belirlemeye yönelik soruları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küre

More questions from this topic