Examkin

Question

Difficulty: MediumKüre

Merkezinden 3 birim3\text{ birim} uzaklıktaki bir düzlemle kesilen bir kürenin kesit alanı 16π birim216\pi\text{ birim}^2 dir.

Buna göre, bu kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 5003\frac{500}{3}Answer
  2. B
    100
  3. C
    2563\frac{256}{3}
  4. D
    500
  5. E
    36

Answer

Kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri 5003\frac{500}{3}'tür.
Kürenin merkezinden 33 birim uzaklıktaki kesit dairesinin alanı 16π16\pi birimkaredir. Dairenin alan formülünden kesit yarıçapı r=4r = 4 birim bulunur. Küre yarıçapı RR, kesit dairesi yarıçapı rr ve kesit düzleminin merkeze uzaklığı d=3d = 3 arasında dik üçgen ilişkisi (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) vardır. Buradan R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve R=5R = 5 birim elde edilir. Kürenin hacim formülü olan V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 uygulandığında hacim 5003π\frac{500}{3}\pi birimküp olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kesit dairesinin yarıçapının bulunması
Kesit dairesinin yarıçapı r=4r = 4 birimdir.
Kürenin bir düzlemle kesilmesiyle oluşan kesit bir dairedir. Alanı 16π16\pi birimkare olan bu dairenin yarıçapı πr2=16π\pi r^2 = 16\pi bağıntısından r=4r = 4 birim olarak bulunur.
2
Kürenin yarıçapının bulunması
Kürenin yarı��apı R=5R = 5 birimdir.
Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısına göre, kürenin yarıçapı R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2 bağıntısından R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve buradan R=5R = 5 birim bulunur.
3
Kürenin hacminin hesaplanması
Kürenin hacmi V=5003πV = \frac{500}{3}\pi birimküptür.
Yarıçapı R=5R = 5 birim olan kürenin hacmi V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülüyle hesaplanır. Buradan V=43π(53)=5003πV = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{500}{3}\pi bulunur.

Key Concept

Kürenin düzlemle kesilmesi sonucu oluşan kesit dairesi özellikleri ve küre hacmi formülü.

Hints

1
Kürenin merkezinden geçen dik doğru, kesit dairesinin merkezine iner ve bu dikey doğru ile kesit dairesinin yarıçapı birbirine diktir.
2
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) kullanarak kürenin yarıçapını (RR) bulunuz.
3
Alanı 16π16\pi olan kesit dairesinin yarıçapını 44 bulduktan sonra, dik kenarları 33 ve 44 olan dik üçgenden küre yarıçapını 55 bulup hacim formülünü (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulayınız.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Küre

More questions from this topic