Examkin

Question

Difficulty: Very hardKüre

Bir dik dairesel koninin içine; koninin tabanına ve yanal yüzeyine teğet olacak biçimde bir küre yerleştiriliyor. Kürenin merkezinin koninin tepe noktasına olan uzaklığı, kürenin yarıçapının 33 katıdır. Buna göre, koninin hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. 2Answer
  3. C
    83\frac{8}{3}
  4. D
    3
  5. E
    6

Answer

Koninin hacminin kürenin hacmine oranı 2'dir.
Koninin tepe noktası ile kürenin merkezi arasındaki uzaklık 3r3r ve kürenin tabana olan uzaklığı rr olduğundan koninin yüksekliği H=4rH = 4r olur. Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu noktadan merkezine çizilen dikmenin uzunluğu rr olup, oluşan dik üçgenler arasındaki benzerlikten koninin taban yarıçapı R=2rR = \sqrt{2}r olarak bulunur. Hacim formülleri oranlandığında doğru sonucun 2 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Küre ve koninin merkezsel kesitini hayal ederek teğetlik noktalarını ve uzunlukları belirleme.
Kürenin yarıçapı rr olsun. Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası TT ve taban merkezi MM olsun. Küre tabana teğet olduğundan OM=rOM = r ve koninin yüksekliği H=TM=TO+OM=3r+r=4rH = TM = TO + OM = 3r + r = 4r olur.
Küre ile koni arasındaki geometrik ilişkileri ve koninin yüksekliğini bulmak için.
2
Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu PP noktasını kullanarak dik üçgenler arasındaki benzerliği kurma.
OP⊥TPOP \perp TP ve OP=rOP = r olur. TPOTPO ve TMCTMC (burada CC taban dairesi üzerindeki bir noktadır) dik üçgenleri benzerdir (A.A. benzerliği). Buradan OPMC=TOTC  ⟹  rR=3rTC  ⟹  TC=3R\frac{OP}{MC} = \frac{TO}{TC} \implies \frac{r}{R} = \frac{3r}{TC} \implies TC = 3R elde edilir.
Koninin taban yarıçapı RR ile kürenin yarıçapı rr arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Pisagor bağıntısını kullanarak koninin taban yarıçapı RR'yi rr cinsinden hesaplama.
TMCTMC dik üçgeninde TC2=TM2+MC2  ⟹  (3R)2=(4r)2+R2  ⟹  8R2=16r2  ⟹  R2=2r2  ⟹  R=2rTC^2 = TM^2 + MC^2 \implies (3R)^2 = (4r)^2 + R^2 \implies 8R^2 = 16r^2 \implies R^2 = 2r^2 \implies R = \sqrt{2}r bulunur.
Koninin taban yarıçapını bulup hacim hesabına geçebilmek için.
4
Koni ve kürenin hacimlerini formüller yardımıyla oranlama.
Vkoni=13πR2H=13π(2r2)(4r)=83πr3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3 ve Vku¨re=43πr3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 olur. Oran ise VkoniVku¨re=83πr343πr3=2\frac{V_{\text{koni}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 2 olarak elde edilir.
Soru kökündeki oranı bulup çözümü tamamlamak için.

Key Concept

Küre ve koni kombinasyonlarında hacim hesaplama, dik üçgende benzerlik ve Pisagor bağıntısı uygulamaları.
Rate this question

Topics

Küre

More questions from this topic