Examkin

Küre

7 questions

All types7Multiple choice6Numeric1
Question 1Question →

Yarıçapı 1313 birim olan bir kürenin içerisine, taban dairesinin çevresi ve tepe noktası küre yüzeyinde olacak bi��imde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, bu koninin hacminin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç π\pi birimküptür?

Show answer & explanation

Answer: 480

Answer

En büyük ve en küçük koni hacimleri arasındaki fark 480π480\pi birimküptür.
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde ve taban çevresi de küre yüzeyinde olduğu için, küre merkezinin koni tabanına uzaklığı Pisagor bağıntısı ile 5 birim olarak hesaplanır. Tepe noktasının konumuna göre koni yüksekliği 13+5=18 veya 13-5=8 olabilir. Bu iki durumdan elde edilen hacimlerin farkı 480*pi birimküptür.

Step-by-Step Solution

1
Küre merkezinden koni taban düzlemine olan dik uzaklığı hesaplama.
Uzaklık d=5d = 5 birim olarak bulunur.
Küre yarıçapı R=13R = 13 birim ve koni taban yarıçapı r=12r = 12 birimdir. Küre merkezi, koni taban dairesinin merkezi ve taban çevresi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısından d2+122=132  ⟹  d=5d^2 + 12^2 = 13^2 \implies d = 5 bulunur.
2
En büyük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h1=18h_1 = 18 birim ve hacim Vmax=864πV_{max} = 864\pi birimküp olarak bulunur.
En büyük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin farklı taraflarında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h1=R+d=13+5=18h_1 = R + d = 13 + 5 = 18 birim olur. Hacim ise Vmax=13πr2h1=13π⋅122⋅18=864πV_{max} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 18 = 864\pi olur.
3
En küçük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h2=8h_2 = 8 birim ve hacim Vmin=384πV_{min} = 384\pi birimküp olarak bulunur.
En küçük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin aynı tarafında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h2=R−d=13−5=8h_2 = R - d = 13 - 5 = 8 birim olur. Hacim ise Vmin=13πr2h2=13π⋅122⋅8=384πV_{min} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 8 = 384\pi olur.
4
Hacimler arasındaki farkı hesaplama.
Fark 480π480\pi birimküptür.
En büyük hacim ile en küçük hacim arasındaki fark Vmax−Vmin=864π−384π=480πV_{max} - V_{min} = 864\pi - 384\pi = 480\pi birimküptür.

Key Concept

Küre içerisine çizilen dik koninin boyutlarının küre yarıçapı ve merkez uzaklığı yardımıyla belirlenmesi ile katı cisimlerin hacim bağıntıları.

Hints

1
Kürenin merkezinden koninin taban düzlemine bir dikme indirerek dik üçgen oluşturun.
2
Oluşan dik üçgende kürenin yarıçapı (13) hipotenüs, koninin taban yarıçapı (12) dik kenarlardan biridir. Buradan merkez ile taban arasındaki mesafeyi bulun.
3
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde olacağından, yüksekliği maksimum yapmak için tepe noktasını merkeze göre tabanın öbür tarafında seçin (13 + d); minimum yapmak için ise aynı tarafında seçin (13 - d).
Estimated Time:3m 0s
Question 2Question →

Merkezinden 3 birim3\text{ birim} uzaklıktaki bir düzlemle kesilen bir kürenin kesit alanı 16π birim216\pi\text{ birim}^2 dir.

Buna göre, bu kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 5003\frac{500}{3}

Answer

Kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri 5003\frac{500}{3}'tür.
Kürenin merkezinden 33 birim uzaklıktaki kesit dairesinin alanı 16π16\pi birimkaredir. Dairenin alan formülünden kesit yarıçapı r=4r = 4 birim bulunur. Küre yarıçapı RR, kesit dairesi yarıçapı rr ve kesit düzleminin merkeze uzaklığı d=3d = 3 arasında dik üçgen ilişkisi (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) vardır. Buradan R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve R=5R = 5 birim elde edilir. Kürenin hacim formülü olan V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 uygulandığında hacim 5003π\frac{500}{3}\pi birimküp olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kesit dairesinin yarıçapının bulunması
Kesit dairesinin yarıçapı r=4r = 4 birimdir.
Kürenin bir düzlemle kesilmesiyle oluşan kesit bir dairedir. Alanı 16π16\pi birimkare olan bu dairenin yarıçapı πr2=16π\pi r^2 = 16\pi bağıntısından r=4r = 4 birim olarak bulunur.
2
Kürenin yarıçapının bulunması
Kürenin yarı��apı R=5R = 5 birimdir.
Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısına göre, kürenin yarıçapı R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2 bağıntısından R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve buradan R=5R = 5 birim bulunur.
3
Kürenin hacminin hesaplanması
Kürenin hacmi V=5003πV = \frac{500}{3}\pi birimküptür.
Yarıçapı R=5R = 5 birim olan kürenin hacmi V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülüyle hesaplanır. Buradan V=43π(53)=5003πV = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{500}{3}\pi bulunur.

Key Concept

Kürenin düzlemle kesilmesi sonucu oluşan kesit dairesi özellikleri ve küre hacmi formülü.

Hints

1
Kürenin merkezinden geçen dik doğru, kesit dairesinin merkezine iner ve bu dikey doğru ile kesit dairesinin yarıçapı birbirine diktir.
2
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) kullanarak kürenin yarıçapını (RR) bulunuz.
3
Alanı 16π16\pi olan kesit dairesinin yarıçapını 44 bulduktan sonra, dik kenarları 33 ve 44 olan dik üçgenden küre yarıçapını 55 bulup hacim formülünü (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulayınız.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

Yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olan küre biçimindeki bir metal külçe eritilerek yarıçapı 2 birim2\text{ birim} olan küre biçiminde küçük bilyeler yapılacaktır. Buna göre, eritilen metal külçeden bu bilyelerden en fazla kaç adet elde edilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

27
Doğru cevap 27 adettir. Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülü ile hesaplanır. Yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olan büyük kürenin hacmi 288π birim3288\pi\text{ birim}^3, yarıçapı 2 birim2\text{ birim} olan küçük kürenin hacmi ise 323π birim3\frac{32}{3}\pi\text{ birim}^3 bulunur. Büyük hacim küçük hacme bölündüğünde 288π/(323π)=27288\pi / (\frac{32}{3}\pi) = 27 adet küçük bilye elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Büyük kürenin hacmini V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülünü kullanarak hesaplayın.
Vbu¨yu¨k=43⋅π⋅63=43⋅π⋅216=288π birim3V_{\text{büyük}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216 = 288\pi\text{ birim}^3
Eritilecek metalin toplam hacmini bulmak için.
2
Küçük bilyelerden birinin hacmini aynı formülle hesaplayın.
Vku¨c¸u¨k=43⋅π⋅23=43⋅π⋅8=323π birim3V_{\text{küçük}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi\text{ birim}^3
Elde edilecek her bir bilyenin hacmini belirlemek için.
3
Büyük kürenin hacmini küçük bilyenin hacmine bölerek elde edilecek toplam bilye sayısını bulun.
Bilye sayısı=288π323π=288⋅332=9⋅3=27\text{Bilye sayısı} = \frac{288\pi}{\frac{32}{3}\pi} = 288 \cdot \frac{3}{32} = 9 \cdot 3 = 27
Toplam metal hacminden kaç adet bilye çıkacağını hesaplamak için.

Key Concept

Kürenin Hacmi ve Benzerlik İlişkisi

Alternative Method

Küreler benzer cisimler olduğundan, hacimleri oranı yarıçapları oranının (benzerlik oranının) küpüne eşittir. Yarıçaplar oranı 62=3\frac{6}{2} = 3 olduğundan, elde edilebilecek bilye sayısı 33=273^3 = 27 olarak doğrudan bulunur.
Estimated Time:45s
Question 4Question →

Bir dik dairesel koninin içine; koninin tabanına ve yanal yüzeyine teğet olacak biçimde bir küre yerleştiriliyor. Kürenin merkezinin koninin tepe noktasına olan uzaklığı, kürenin yarıçapının 33 katıdır. Buna göre, koninin hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Koninin hacminin kürenin hacmine oranı 2'dir.
Koninin tepe noktası ile kürenin merkezi arasındaki uzaklık 3r3r ve kürenin tabana olan uzaklığı rr olduğundan koninin yüksekliği H=4rH = 4r olur. Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu noktadan merkezine çizilen dikmenin uzunluğu rr olup, oluşan dik üçgenler arasındaki benzerlikten koninin taban yarıçapı R=2rR = \sqrt{2}r olarak bulunur. Hacim formülleri oranlandığında doğru sonucun 2 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Küre ve koninin merkezsel kesitini hayal ederek teğetlik noktalarını ve uzunlukları belirleme.
Kürenin yarıçapı rr olsun. Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası TT ve taban merkezi MM olsun. Küre tabana teğet olduğundan OM=rOM = r ve koninin yüksekliği H=TM=TO+OM=3r+r=4rH = TM = TO + OM = 3r + r = 4r olur.
Küre ile koni arasındaki geometrik ilişkileri ve koninin yüksekliğini bulmak için.
2
Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu PP noktasını kullanarak dik üçgenler arasındaki benzerliği kurma.
OP⊥TPOP \perp TP ve OP=rOP = r olur. TPOTPO ve TMCTMC (burada CC taban dairesi üzerindeki bir noktadır) dik üçgenleri benzerdir (A.A. benzerliği). Buradan OPMC=TOTC  ⟹  rR=3rTC  ⟹  TC=3R\frac{OP}{MC} = \frac{TO}{TC} \implies \frac{r}{R} = \frac{3r}{TC} \implies TC = 3R elde edilir.
Koninin taban yarıçapı RR ile kürenin yarıçapı rr arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Pisagor bağıntısını kullanarak koninin taban yarıçapı RR'yi rr cinsinden hesaplama.
TMCTMC dik üçgeninde TC2=TM2+MC2  ⟹  (3R)2=(4r)2+R2  ⟹  8R2=16r2  ⟹  R2=2r2  ⟹  R=2rTC^2 = TM^2 + MC^2 \implies (3R)^2 = (4r)^2 + R^2 \implies 8R^2 = 16r^2 \implies R^2 = 2r^2 \implies R = \sqrt{2}r bulunur.
Koninin taban yarıçapını bulup hacim hesabına geçebilmek için.
4
Koni ve kürenin hacimlerini formüller yardımıyla oranlama.
Vkoni=13πR2H=13π(2r2)(4r)=83πr3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3 ve Vku¨re=43πr3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 olur. Oran ise VkoniVku¨re=83πr343πr3=2\frac{V_{\text{koni}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 2 olarak elde edilir.
Soru kökündeki oranı bulup çözümü tamamlamak için.

Key Concept

Küre ve koni kombinasyonlarında hacim hesaplama, dik üçgende benzerlik ve Pisagor bağıntısı uygulamaları.
Question 5Question →

Taban yarıçapı 6 birim6\text{ birim} ve yüksekliği 3 birim3\text{ birim} olan dik dairesel silindir biçimindeki üstü açık boş bir kap, tamamen suyla doludur. Bu kabın içine yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan küre biçiminde demir bir bilye yavaşça bırakılıyor. Bilye kabın tabanına oturduğuna göre, kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15\frac{1}{5}

Answer

Kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru cevap olan oran 15\frac{1}{5}'tir. Silindirin toplam hacmi 108π108\pi birimküp olarak hesaplanır. Yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan kürenin, 3 birim3\text{ birim} yüksekliğindeki silindire tabandan oturtulduğunda yalnızca alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi 18π18\pi birimküp olup taşan su hacmine eşittir. Kalan su hacmi ise 108π−18π=90π108\pi - 18\pi = 90\pi birimküptür. Buradan taşan suyun kalan suya oranı 18π90π=15\frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅R2⋅H=π⋅62⋅3=108πV_{\text{silindir}} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi birimküp
Başlangıçta kap tamamen dolu olduğundan, suyun ilk hacmi silindirin toplam hacmine eşittir.
2
Kürenin silindir içinde kalan (suya batan) kısmının hacmini belirleyiniz.
Kürenin yarıçapı r=3 birimr = 3\text{ birim} ve silindirin yüksekliği H=3 birimH = 3\text{ birim}'dir. Küre tabana oturduğunda, kürenin merkezinin tabana olan uzaklığı yarıçapı kadar (3 birim3\text{ birim}) olur. Silindirin yüksekliği de tam olarak 3 birim3\text{ birim} olduğundan, kürenin merkezi silindirin üst sınır hizasındadır. Dolayısıyla kürenin sadece alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi: Vbatan=12⋅(43π⋅r3)=23π⋅33=18πV_{\text{batan}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi birimküp
Silindirden taşan suyun hacmi, kürenin suya batan kısmının hacmine eşittir.
3
Kapta kalan suyun hacmini bulunuz.
Vkalan=Vsilindir−Vbatan=108π−18π=90πV_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{batan}} = 108\pi - 18\pi = 90\pi birimküp
Kalan suyun hacmi, başlangıçtaki toplam su hacminden taşan su hacmi çıkarılarak bulunur.
4
Taşan suyun hacmini kalan suyun hacmine oranlayınız.
Oran=VbatanVkalan=18π90π=15\text{Oran} = \frac{V_{\text{batan}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5}
Soruda bizden istenen taşan suyun kalan suya oranıdır.

Key Concept

Küre ve silindirin hacim bağıntıları ile batan cisimlerin hacmi kadar sıvı taşırması prensibi.

Hints

1
Bilye tabana oturduğunda kürenin en üst noktasının yerden yüksekliği ile silindirin yüksekliğini karşılaştırın.
2
Silindirin yüksekliği 3 birim3\text{ birim} ve kürenin yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olduğuna göre, kürenin merkezinin silindirin üst yüzey hizasında kaldığını fark edin. Bu durumda kürenin ne kadarlık bir kısmı suyun içindedir?
3
Kürenin tam hacmi 36π36\pi birimküptür. Kürenin yarısı silindirin içinde kaldığından taşan suyun hacmi 18π18\pi birimküptür. Kalan su hacmini bulup oranlama yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yarısı su dolu bir silindire küre atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini veya suyun taşma sınırına ulaşıp ulaşmayacağını belirlemeye yönelik soruları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →

Yüzey alanı 144π birim2144\pi\text{ birim}^2 olan bir kürenin hacmi kaç π birim3\pi\text{ birim}^3 tür?

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

Kürenin hacmi 288π birim3288\pi\text{ birim}^3 olup, sorulan katsayı değeri 288'dir.
Kürenin yüzey alanı formülü 4πr2=144π4\pi r^2 = 144\pi eşitliğinden r2=36r^2 = 36 ve r=6 birimr = 6\text{ birim} bulunur. Bu yarıçap değeri hacim formülünde (V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3) yerine yazılırsa, hacim V=43π(63)=288π birim3V = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi\text{ birim}^3 olarak elde edilir. Dolayısıyla cevap 288'dir.

Step-by-Step Solution

1
Yüzey alanı formülünden kürenin yarıçapını hesaplayın.
r=6 birimr = 6\text{ birim}
Kürenin yüzey alanı 4πr24\pi r^2 formülü ile hesaplanır. 4πr2=144π4\pi r^2 = 144\pi eşitliği ç��züldüğünde r=6r = 6 elde edilir.
2
Yarıçapı kullanarak kürenin hacmini hesaplayın.
V=288π birim3V = 288\pi\text{ birim}^3
Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülü ile hesaplanır. Yarıçap yerine 6 yazıldığında V=43π(63)=288πV = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi elde edilir.

Key Concept

Kürenin yüzey alanı ve hacmi formüllerinin doğrudan uygulanması
Question 7Question →

Hacmi 288π birim3288\pi\text{ birim}^3 olan bir küre, bir dik dairesel silindirin içerisine yerleştirildiğinde silindirin alt ve üst tabanları ile yan yüzeyine teğet olmaktadır. Daha sonra bu silindirin içerisine; tepe noktası kürenin merkezinde, tabanı ise silindirin alt tabanıyla çakışacak biçimde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen koninin yanal alanı kaç π birim2\pi\text{ birim}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 36236\sqrt{2}

Answer

Yerleştirilen koninin yanal alanı 362π birim236\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 dir.
Kürenin verilen hacminden (288π288\pi) yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olarak hesaplanır. Kürenin silindire teğet olması ve koninin tepe noktasının kürenin merkezinde bulunması sebebiyle koninin taban yarıçapı 6 birim6\text{ birim} ve yüksekliği 6 birim6\text{ birim} olur. Dik üçgende Pisagor bağıntısı ile koninin ana doğrusu 62 birim6\sqrt{2}\text{ birim} bulunur. Koninin yanal alan formülü olan π⋅R⋅a\pi \cdot R \cdot a bağıntısı uygulandığında alan 362π birim236\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 olarak doğru şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kürenin hacim formülünü yazıp yarıçapını hesaplama.
r=6 birimr = 6\text{ birim}
Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülüyle hesaplanır. 288π=43πr3288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 eşitliğinden r3=216r^3 = 216 ve böylece r=6 birimr = 6\text{ birim} bulunur.
2
Küre silindire teğet olduğundan silindirin ve koninin taban yarıçapı ile yüksekliğini belirleme.
Koninin taban yarıçapı R=6 birimR = 6\text{ birim} ve yüksekliği h=6 birimh = 6\text{ birim} dir.
Küre silindirin tabanlarına ve yan yüzeyine teğet olduğundan silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir (R=6R = 6). Koninin tepe noktası kürenin merkezinde olduğundan koninin yüksekliği küre merkezinin alt tabana olan uzaklığına, yani kürenin yarıçapına eşittir (h=r=6h = r = 6).
3
Pisagor bağıntısını kullanarak koninin ana doğrusunu (aa) hesaplama.
a=62 birima = 6\sqrt{2}\text{ birim}
Koninin yüksekliği (hh) ve taban yarıçapı (RR) birbirine diktir. Dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında a2=R2+h2  ⟹  a2=62+62=72  ⟹  a=62 birima^2 = R^2 + h^2 \implies a^2 = 6^2 + 6^2 = 72 \implies a = 6\sqrt{2}\text{ birim} bulunur.
4
Koninin yanal alanı formülünü uygulayarak sonucu bulma.
YA=362π birim2Y_A = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2
Koninin yanal alanı YA=π⋅R⋅aY_A = \pi \cdot R \cdot a formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında YA=π⋅6⋅62=362π birim2Y_A = \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 elde edilir.

Key Concept

Kürenin silindir ve koni ile olan geometrik ilişkilerini kullanarak katı cisimlerin hacim ve yanal alan formüllerini uygulama.

Alternative Method

Alternatif olarak, taban yarıçapı ve yüksekliği eşit olan dik dairesel konilerde, koni ana doğrusunun (aa) taban yarıçapının (RR) 2\sqrt{2} katı olduğu (a=R2a = R\sqrt{2}) doğrudan görülebilir. Buradan yanal alan YA=πR22Y_A = \pi R^2 \sqrt{2} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Kürenin yarıçapı 66 bulunduktan sonra R=6R = 6 yerine yazılarak YA=π⋅62⋅2=362πY_A = \pi \cdot 6^2 \cdot \sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi sonucuna doğrudan ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Küre Practice Questions — ALES | Examkin