Examkin

Question

Difficulty: Very hardOlasılık Kavramı ve Özellikleri

Üç adet hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    38\frac{3}{8}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. 58\frac{5}{8}Answer
  4. D
    78\frac{7}{8}
  5. E
    91216\frac{91}{216}

Answer

Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı 58\frac{5}{8}'dir.
Çarpımın 4'ün katı olması olasılığı, tüm durumların olasılığı olan 1'den, çarpımın 4'ün katı olmama olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanır. Çarpımın 4'ün katı olmaması için ya tüm zarlar tek sayı gelmeli (2727 durum) ya da zarlardan yalnız biri 2 veya 6 gelip diğerleri tek sayı gelmelidir (5454 durum). Bu durumda tümleyen durum sayısı 8181 olup olasılığı 81216=38\frac{81}{216} = \frac{3}{8}'dir. İstenen olasılık ise 1−38=581 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} olur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm durumların (örnek uzayın) sayısını belirleme.
Üç zar atıldığında toplam olası durum sayısı 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216 olur.
Her bir zarın 6 farklı yüzü olduğundan çarpım kuralı uygulanır.
2
Tümleyen olay olan 'çarpımın 4'ün katı olmama' durumunun koşullarını belirleme.
Çarpımın 4'ün katı olmaması için iki durum vardır: 1) Üç zarın da tek sayı gelmesi, 2) Zarlardan sadece birinin çift sayı gelmesi ve bu çift sayının 4 olmaması (yani 2 veya 6 olması), diğer iki zarın ise tek sayı gelmesi.
Çarpımın 4 ile bölünememesi için içerisinde en fazla bir tane 2 çarpanı bulunabilir, 4 çarpanı ise hiç bulunamaz.
3
Tümleyen olaya ait durum sayılarını hesaplama.
Birinci durum (üçü de tek): {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesinden 3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 durum. İkinci durum (bir çift 2 veya 6, iki tek): Çift sayının geleceği zar 3 farklı şekilde seçilir. Bu zar için 2 veya 6 olmak üzere 2 seçenek vardır. Diğer iki tek zar için 3×3=93 \times 3 = 9 seçenek vardır. Buradan 3×2×9=543 \times 2 \times 9 = 54 durum elde edilir. Toplam tümleyen durum sayısı 27+54=8127 + 54 = 81 olur.
Her iki durum ayrık olaylar olduğundan durum sayıları toplanır.
4
Tümleyen olayın olasılığını ve ardından istenen olayın olasılığını tümleyen kuralıyla hesaplama.
Çarpımın 4'ün katı olmama olasılığı 81216=38\frac{81}{216} = \frac{3}{8}'dir. İstenen durumun (çarpımın 4'ün katı olma) olasılığı ise 1−38=581 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} olarak bulunur.
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı 1'e eşittir (P(A)+P(A′)=1P(A) + P(A') = 1).

Key Concept

Bir olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) o olayın gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanabilir: P(A)=1−P(A′)P(A) = 1 - P(A').

Alternative Method

Çözüm doğrudan sayılarak da yapılabilir. Çarpımın 4'ün katı olması için zarların en az birinin 4 gelmesi veya en az iki zarda çift sayı (2 veya 6) gelmesi gerekir. Bu durumlar tek tek toplanarak da 135 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Olasılık Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic