Examkin

Question

Difficulty: Very hardŞifreleme ve Kodlama

Türk alfabesindeki 29 harf sırasıyla şu şekildedir:
A,B,C,C\c,D,E,F,G,G˘,H,I,I˙,J,K,L,M,N,O,O¨,P,R,S,S\c,T,U,U¨,V,Y,ZA, B, C, Ç, D, E, F, G, Ğ, H, I, İ, J, K, L, M, N, O, Ö, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z
Bu harflerin sıra sayıları sırasıyla 1,2,...,291, 2, ..., 29'dur.

Dört harfli bir kelimenin harflerinin sıra sayıları soldan sağa sırasıyla v1,v2,v3v_1, v_2, v_3 ve v4v_4 olmak üzere, bu kelime aşağıdaki kurallara göre sırasıyla k1,k2,k3k_1, k_2, k_3 ve k4k_4 sayılarından oluşan bir koda dönüştürülmektedir:
* k1=v1+v4k_1 = v_1 + v_4
* k2=∣v2−v3∣k_2 = |v_2 - v_3|
* k3=(v1×v2)k_3 = (v_1 \times v_2) sayısının 29 ile bölümünden kalan (kalan 0 ise k3=29k_3 = 29)
* k4=(v3+v4)k_4 = (v_3 + v_4) sayısının 29 ile bölümünden kalan (kalan 0 ise k4=29k_4 = 29)

Buna göre, bu kodlama sisteminde kodu 20−14−14−2120 - 14 - 14 - 21 olan kelime aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ELAK
  2. B
    KELA
  3. KALEAnswer
  4. D
    LAKE
  5. E
    JALE

Answer

KALE
KALE kelimesinin harflerinin alfabetik değerleri sırasıyla K(14), A(1), L(15) ve E(6) şeklindedir. Bu değerler şifreleme kurallarına uygulandığında: Birinci karakter kodu 14+6=2014 + 6 = 20, ikinci karakter kodu ∣1−15∣=14|1 - 15| = 14, üçüncü karakter kodu (14×1)(mod29)=14(14 \times 1) \pmod{29} = 14 ve dördüncü karakter kodu (15+6)(mod29)=21(15 + 6) \pmod{29} = 21 olur. Bu çıktılar aranan 20−14−14−2120 - 14 - 14 - 21 kodunu tam olarak doğrular.

Step-by-Step Solution

1
Harflerin alfabedeki sıra sayıları cinsinden kod denklemlerini kurmak.
v1+v4=20v_1 + v_4 = 20, ∣v2−v3∣=14|v_2 - v_3| = 14, v1×v2≡14(mod29)v_1 \times v_2 \equiv 14 \pmod{29} ve v3+v4≡21(mod29)v_3 + v_4 \equiv 21 \pmod{29} denklemleri elde edilir.
Verilen 20−14−14−2120 - 14 - 14 - 21 kodunun her bir bileşenini matematiksel eşitliklere dökmek gerekir.
2
v1+v4=20v_1 + v_4 = 20 ve v3+v4≡21(mod29)v_3 + v_4 \equiv 21 \pmod{29} denklemlerini kullanarak v1v_1 ve v3v_3 arasındaki ilişkiyi bulmak.
v3+v4v_3 + v_4 toplamı 29'dan küçük olacağından v3+v4=21v_3 + v_4 = 21 olmalıdır. Buradan v4=21−v3v_4 = 21 - v_3 elde edilir. Birinci denklemde yerine yazıldığında v1+(21−v3)=20  ⟹  v3=v1+1v_1 + (21 - v_3) = 20 \implies v_3 = v_1 + 1 bağıntısına ulaşılır.
Aynı değişkeni (v4v_4) içeren iki denklemi birleştirerek bilinmeyen sayısını azaltmak.
3
∣v2−v3∣=14|v_2 - v_3| = 14 eşitliğini incelemek.
Bu eşitlikten iki durum çıkar: v2=v3+14v_2 = v_3 + 14 veya v2=v3−14v_2 = v_3 - 14. v3=v1+1v_3 = v_1 + 1 yerine yazıldığında; ya v2=v1+15v_2 = v_1 + 15 ya da v2=v1−13v_2 = v_1 - 13 olur.
Bulunan v3v_3 bağıntısını mutlak değerli eşitlikte yerine koyarak v2v_2 ile v1v_1 arasında bir ilişki kurmak.
4
v1×v2≡14(mod29)v_1 \times v_2 \equiv 14 \pmod{29} denkleminde durumları denemek.
v2=v1−13v_2 = v_1 - 13 durumunda; v1(v1−13)≡14(mod29)  ⟹  v12−13v1−14≡0(mod29)  ⟹  (v1−14)(v1+1)≡0(mod29)v_1(v_1 - 13) \equiv 14 \pmod{29} \implies v_1^2 - 13v_1 - 14 \equiv 0 \pmod{29} \implies (v_1 - 14)(v_1 + 1) \equiv 0 \pmod{29} olur. Buradan v1=14v_1 = 14 veya v1≡−1≡28(mod29)v_1 \equiv -1 \equiv 28 \pmod{29} elde edilir. v1=14v_1 = 14 seçildiğinde v2=1v_2 = 1 olur ve aralık kısıtlarını sağlar.
Çarpım denkleminde tek değişkene bağlı ikinci dereceden modüler denklemi çözmek.
5
Bulunan sayısal değerleri harflere dönüştürmek.
v1=14  ⟹  Kv_1 = 14 \implies K, v2=1  ⟹  Av_2 = 1 \implies A, v3=14+1=15  ⟹  Lv_3 = 14 + 1 = 15 \implies L, v4=20−14=6  ⟹  Ev_4 = 20 - 14 = 6 \implies E harflerine karşılık gelir. Kelime 'KALE' olarak bulunur.
Elde edilen alfabedeki sıra sayılarını kullanarak kelimeyi oluşturmak.

Key Concept

Modüler Aritmetik ve Denklem Sistemleri ile Şifre Çözme
Rate this question

Topics

Şifreleme ve Kodlama

More questions from this topic