Examkin

Question

Difficulty: MediumPozitif ve Negatif Sayılar
xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0
y⋅z<0y \cdot z < 0
x−z>0x - z > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

  1. A
    x−zy−z\frac{x - z}{y - z}
  2. B
    x⋅yz\frac{x \cdot y}{z}
  3. z−xy−x\frac{z - x}{y - x}Answer
  4. D
    x2⋅y−zx^2 \cdot y - z
  5. E
    y+zx\frac{y + z}{x}

Answer

z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesi
Verilen eşitsizliklerden sırasıyla x<0x < 0, z<0z < 0 ve y>0y > 0 işaretleri saptanır. Bunlar birleştirildiğinde z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması bulunur. Bu doğrultuda z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde pay olan z−xz - x ifadesi, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için negatif; payda olan y−xy - x ifadesi ise büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığı için pozitiftir. Negatif bir değerin pozitif bir değere oranı daima negatif sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği inceleyerek xx değişkeninin işaretini belirlemek.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinde y≠0y \neq 0 olduğundan çift kuvveti olan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın sonucunun negatif olması için x3<0x^3 < 0 olmalıdır, bu da x<0x < 0 (negatif) demektir.
Çift kuvvetli terimlerin daima pozitif olmasından yararlanarak tek bilinmeyenli bir işaret analizi yapmak.
2
Üçüncü eşitsizlik yardımıyla zz değişkeninin işaretini ve xx ile olan ilişkisini belirlemek.
x−z>0  ⟹  x>zx - z > 0 \implies x > z olur. x<0x < 0 olduğu bilindiğine göre, z<x<0z < x < 0 elde edilir. Buradan zz sayısının da negatif (z<0z < 0) oldu��u sonucuna ulaşılır.
Bulunan xx işaretini diğer eşitsizlikte yerine koyarak zz hakkında kesin bilgi edinmek.
3
İkinci eşitsizlikten yararlanarak yy değişkeninin işaretini bulmak ve tüm değişkenleri sıralamak.
y⋅z<0y \cdot z < 0 eşitsizliğinde z<0z < 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için yy sayısının pozitif (y>0y > 0) olması gerekir. Sonuç olarak z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması elde edilir.
Tüm değişkenlerin işaretlerini belirleyip sayı doğrusu üzerindeki yerlerini netleştirmek.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini bu sıralamaya göre değerlendirmek.
z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde; pay kısmında z<x  ⟹  z−x<0z < x \implies z - x < 0 (negatif), payda kısmında ise x<y  ⟹  y−x>0x < y \implies y - x > 0 (pozitif) elde edilir. Negatifin pozitife bölümü daima negatif olacağından bu ifade kesinlikle negatiftir.
Elde edilen işaret ve büyüklük bilgilerini kullanarak kesin olarak negatif olan ifadeyi bulmak.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Belirleme ve Eşitsizlik Yorumlama
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic