Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

11 questions

Question 1Question →
Sıfırdan farklı pp, qq ve rr gerçel sayıları için
p−q>0p - q > 0
q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0
p⋅q3⋅r5>0p \cdot q^3 \cdot r^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

Show answer & explanation

Answer: p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q}

Answer

p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi daima pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ve p>qp > q elde edilir. Bu koşulları sağlayan iki durum vardır: Tüm değişkenlerin pozitif olduğu (p>q>0,r>q>0p > q > 0, r > q > 0) durum ve iki değişkenin negatif olduğu (p>0>q>rp > 0 > q > r) durum. p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi incelendiğinde; tümü pozitifken pay (p⋅rp \cdot r) ve payda (r−qr - q) pozitif olduğundan sonuç pozitif olur. İkinci durumda ise pay negatif (p⋅r<0p \cdot r < 0) ve payda negatif (r−q<0r - q < 0) olduğundan sonuç yine pozitif olur. Dolayısıyla bu ifade daima pozitiftir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitsizliklerden değişkenlerin işaret çarpımını belirleme
p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 elde edilir.
Tek kuvvetli ifadelerin işareti tabanlarının işaretiyle aynı olduğundan çarpımın işareti korunur.
2
Değişkenlerin alabileceği işaret durumlarını ve sıralamaları analiz etme
İki olası durum bulunur: 1) p>q>0p > q > 0 ve r>q>0r > q > 0; 2) p>0>q>rp > 0 > q > r.
p>qp > q ve q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0 koşullarının p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ile tutarlı olması için bu iki durumun geçerli olması gerekir.
3
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin işaretini kontrol etme
Her iki durumda da p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesinin pay ve paydasının işaretleri aynı olduğundan sonuç daima pozitif çıkar.
Birinci durumda pay ve payda pozitif, ikinci durumda ise pay ve payda negatiftir. Negatifin negatife bölümü pozitif olduğundan sonuç daima pozitiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayıların Çarpma ve Bölme Özellikleri
Question 2Question →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c5>0a \cdot c^5 > 0
b−c>0b - c > 0

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2

Answer

a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesi daima negatiftir.
a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesinde, sıfırdan farklı aa sayısı için a2>0a^2 > 0 ve negatif cc sayısı için a2⋅c<0a^2 \cdot c < 0 (negatif) elde edilir. Benzer şekilde, sıfırdan farklı bb sayısı için b2>0b^2 > 0 ve dolayısıyla −b2<0-b^2 < 0 (negatif) olur. İki negatif terimin toplamı daima negatif bir değer üretecektir.

Step-by-Step Solution

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini kullanarak aa sayısının işaretini belirleme.
a<0a < 0 (negatif) olarak bulunur.
bb sıfırdan farklı olduğu için b2b^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olabilmesi için a3a^3 ifadesinin, dolayısıyla aa sayısının negatif olması gerekir.
2
a⋅c5>0a \cdot c^5 > 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının işaretini belirleme.
c<0c < 0 (negatif) olarak bulunur.
a<0a < 0 olduğundan, çarpımın pozitif çıkması için c5c^5 ifadesinin de negatif olması gerekir. Buradan c<0c < 0 elde edilir.
3
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğini analiz ederek bb sayısının alabileceği değerleri inceleme.
bb sayısı pozitif veya negatif değerler alabilir.
b>cb > c eşitsizliğinde c<0c < 0 (negatif) olduğundan, bb sayısı negatif bir sayıdan büyüktür. Bu durumda bb sayısı sıfırdan büyük (pozitif) veya cc ile sıfır arasında (negatif) değerler alabilir. Yani bb'nin işareti kesin değildir.
4
Seçenekleri analiz ederek daima negatif olan ifadeyi bulma.
a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesinin daima negatif olduğu görülür.
a≠0a \neq 0 için a2>0a^2 > 0 ve c<0c < 0 olduğundan a2⋅c<0a^2 \cdot c < 0 (negatif) olur. b≠0b \neq 0 için b2>0b^2 > 0 olduğundan −b2<0-b^2 < 0 (negatif) olur. İki negatif sayının toplamı her zaman negatiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Analizi ve Eşitsizlik Yorumlama

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin, a=−1a = -1 ve c=−2c = -2 seçildiğinde b−c>0b - c > 0 şartını sağlayan b=−1b = -1 (negatif) ve b=1b = 1 (pozitif) değerleri ayrı ayrı seçeneklerde yerine yazılarak daima negatif çıkmayan ifadeler elenir.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a5⋅b2<0a^5 \cdot b^2 < 0
b⋅c3>0b \cdot c^3 > 0
a−c<0a - c < 0
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitiftir?
Show answer & explanation

Answer: b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a}

Answer

b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesi
Doğru seçenekte verilen b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesinin payındaki b⋅cb \cdot c terimi, bb ve cc aynı işaretli olduğundan daima pozitiftir. Paydasındaki c−ac - a terimi ise a<ca < c olduğundan daima pozitiftir. İki pozitif değerin birbirine oranı da daima pozitif olacaktır.

Step-by-Step Solution

1
a5⋅b2<0a^5 \cdot b^2 < 0 eşitsizliği incelenir.
a<0a < 0 olarak bulunur.
b≠0b \neq 0 olduğundan b2>0b^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın negatif olması için a5<0a^5 < 0 olmalıdır, bu da a<0a < 0 anlamına gelir.
2
b⋅c3>0b \cdot c^3 > 0 eşitsizliği incelenir.
bb ve cc aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0).
Çarpımın pozitif olması için iki çarpanın da aynı işaretli olması gerekir. c3c^3'ün işareti cc'nin işaretiyle aynı olduğundan bb ve cc aynı işaretlidir.
3
a−c<0a - c < 0 eşitsizliği incelenir.
c−a>0c - a > 0 olarak bulunur.
a−c<0⇒a<ca - c < 0 \Rightarrow a < c yazılır. Buradan aa karşı tarafa atıldığında c−a>0c - a > 0 elde edilir.
4
b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesinin işareti değerlendirilir.
İfade daima pozitiftir.
Pay kısmındaki b⋅c>0b \cdot c > 0 (pozitif) ve payda kısmındaki c−a>0c - a > 0 (pozitif) olduğundan, iki pozitif sayının bölümü daima pozitiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
Question 4Question →

xx negatif, yy ise pozitif bir gerçel sayıdır.

Buna göre, x−yx - y farkı ile her zaman aynı işarete sahip olan ifade hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: x⋅yx \cdot y

Answer

x⋅yx \cdot y ifadesi
Verilen koşullara göre x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğundan, x−yx - y farkı her zaman negatif bir değer alır. Benzer şekilde, negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesi de her zaman negatiftir. Bu nedenle bu iki ifadenin işareti her zaman aynıdır.

Step-by-Step Solution

1
xx ve yy sayılarının işaretlerini belirleyip x−yx - y ifadesinin işaretini inceleyelim.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu verilmiştir. x−yx - y ifadesi, negatif bir sayıdan pozitif bir sayının çıkarılmasıdır. Küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için sonuç her zaman negatiftir.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının farkı (x−yx - y) her zaman negatiftir.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini tek tek inceleyerek her zaman negatif olan ifadeyi bulalım.
y−xy - x ifadesi pozitif, x⋅yx \cdot y ifadesi negatif, x2⋅yx^2 \cdot y ifadesi pozitif, yx2\frac{y}{x^2} ifadesi pozitif olup x+yx + y ifadesinin işareti belirsizdir.
Her seçeneğin işaret analizini yapmak, x−yx - y ile aynı işarete sahip olan ifadeyi belirlememizi sağlar.
3
Elde edilen işaretleri karşılaştırarak doğru seçeneği belirleyelim.
x−yx - y her zaman negatif olduğundan, seçenekler arasından her zaman negatif olan x⋅yx \cdot y ifadesi doğru cevaptır.
İki ifadenin de her koşulda negatif olması, işaretlerinin aynı olmasını garantiler.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem ve işaret kuralları
Question 5Question →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: zx2+y2\frac{z}{x^2 + y^2}

Answer

Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümünü temsil eden ifade her zaman negatiftir.
Payı oluşturan zz ifadesi kesin olarak negatif bir sayıdır. Paydadaki x2+y2x^2 + y^2 ifadesi ise sıfırdan farklı iki gerçel sayının kareleri toplamı olduğundan kesinlikle pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya oranı her zaman negatif olacağından, payı negatif ve paydası pozitif olan rasyonel ifade her zaman negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0 eşitsizliğini analiz edin.
x<yx < y
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın negatif olabilmesi için x−y<0x - y < 0 olmalıdır, bu da x<yx < y sonucunu verir.
2
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0 eşitsizliğini analiz edin.
z<0z < 0
Birinci adımda x<yx < y olduğu bulunmuştu. Buradan y−x>0y - x > 0 elde edilir. Pozitif bir sayının tek kuvveti de pozitif olacağından (y−x)5>0(y - x)^5 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için zz sayısının negatif olması gerekir.
3
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğini ve olası durumları inceleyin.
z<0<x<yz < 0 < x < y veya x<y<z<0x < y < z < 0
z<0z < 0 olduğundan iki durum mevcuttur. Eğer x>0x > 0 ise x3>0x^3 > 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z>0  ⟹  y>zy - z > 0 \implies y > z olmalıdır. Buradan z<0<x<yz < 0 < x < y elde edilir. Eğer x<0x < 0 ise x3<0x^3 < 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z<0  ⟹  y<zy - z < 0 \implies y < z olmalıdır. Buradan x<y<z<0x < y < z < 0 elde edilir.
4
Seçenekleri bu iki duruma göre değerlendirin.
Payı negatif, paydası pozitif olan rasyonel ifadenin her zaman negatif olduğu görülür.
Her iki durumda da z<0z < 0 ve x2+y2>0x^2 + y^2 > 0 özellikleri değişmez. Dolayısıyla bu iki ifadenin oranı her zaman negatiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a+b+c<0a + b + c < 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, değeri her zaman pozitif olan ifade hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c)

Answer

İki çarpanı da her koşulda aynı işaretli olan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesi her zaman pozitiftir.
Doğru seçenekte yer alan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesindeki iki çarpan, problemin koşullarından türetilen her iki geçerli durumda da aynı işarete sahip olmaktadır. Çarpanların ikisi birden negatif veya ikisi birden pozitif olduğundan, bu iki ifadenin çarpımı her zaman pozitif bir değer verir.

Step-by-Step Solution

1
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak sayıların işaret durumlarını belirlemek.
Sayıların üçü de pozitif olamaz, çünkü toplamları negatiftir (a+b+c<0a + b + c < 0). Bu durumda sayıların biri pozitif, diğer ikisi negatiftir. Olası işaret kombinasyonları (+,−,−)(+, -, -), (−,+,−)(-, +, -) ve (−,−,+)(-, -, +) şeklindedir.
Çarpımın sonucunun pozitif olması için negatif çarpan sayısının çift olması gerekir.
2
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0 eşitsizliği ile olası işaret kombinasyonlarını test etmek.
Eğer işaretler (−,−,+)(-, -, +) olsaydı, a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 olurdu. Bu durumda b−c<0b - c < 0 olacağından a⋅(b−c)=(−)⋅(−)>0a \cdot (b - c) = (-) \cdot (-) > 0 çelişkisi doğardı. Geriye sadece iki geçerli durum kalır:
Durum 1: a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0
Durum 2: a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0
Eşitsizlik sisteminin tüm kurallarının aynı anda sağlanması zorunludur.
3
Geçerli iki durum için bb ile cc sayıları arasındaki büyüklük ilişkisini incelemek.
Durum 1'de (a>0a > 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c<0  ⟹  b<ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c < 0 \implies b < c olur.
Durum 2'de (a<0a < 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c>0  ⟹  b>ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c > 0 \implies b > c olur (zaten pozitif olan bb, negatif olan cc'den büyüktür).
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir.
4
Elde edilen veriler doğrultusunda (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesinin işaretini her iki durum için ayrı ayrı hesaplamak.
Durum 1 için (a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0 ve b<cb < c): b−a<0b - a < 0 (negatif - pozitif) ve b−c<0b - c < 0 olduğundan çarpım (−)⋅(−)=+(-) \cdot (-) = + olur.
Durum 2 için (a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0 ve b>cb > c): b−a>0b - a > 0 (pozitif - negatif) ve b−c>0b - c > 0 (pozitif - negatif) olduğundan çarpım (+)⋅(+)=+(+) \cdot (+) = + olur. Her iki durumda da sonuç pozitiftir.
Tüm olası durumlarda ifadenin işaretinin değişmediğini kanıtlamak.

Key Concept

Negatif ve pozitif sayıların çarpma ve çıkarma işlemleri altındaki işaret davranışları ile eşitsizlik yönü kuralları.
Question 7Question →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅c3>0a \cdot c^3 > 0
a+b<0a + b < 0
b⋅c>0b \cdot c > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitiftir?

Show answer & explanation

Answer: (a+c)⋅b(a + c) \cdot b

Answer

Negatif iki sayının toplamı ile negatif bir sayının çarpımı olan (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi
Negatif iki sayının toplamı negatif bir değer verir. Bu negatif toplam ile negatif başka bir sayının çarpımı ise işaret kuralları gereği daima pozitif bir sonuç üretir. Dolayısıyla (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi her zaman pozitiftir.

Step-by-Step Solution

1
a⋅c3>0a \cdot c^3 > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak aa ve cc sayılarının işaretlerini belirleyin.
aa ve cc aynı işaretlidir. Yani ikisi de pozitif veya ikisi de negatiftir.
Tek kuvvetler tabanın işaretini değiştirmediğinden c3c^3 ile cc aynı işarete sahiptir. Çarpımları pozitif olan iki sayının işaretleri aynı olmak zorundadır.
2
Ende edilen durumları b⋅c>0b \cdot c > 0 ve a+b<0a + b < 0 eşitsizlikleriyle test ederek tek bir duruma indirgeyin.
a<0a < 0, b<0b < 0 ve c<0c < 0 olmalıdır.
Eğer a>0a > 0 ve c>0c > 0 olsaydı; b⋅c>0b \cdot c > 0 eşitsizliğinden dolayı b>0b > 0 olurdu. Bu durumda a+b>0a + b > 0 olmalıydı ancak soruda a+b<0a + b < 0 verilmiştir. Bu çelişki nedeniyle aa ve cc pozitif olamaz. Dolayısıyla tek geçerli durum a<0a < 0 ve c<0c < 0 olmasıdır. c<0c < 0 iken b⋅c>0b \cdot c > 0 sağlanması için b<0b < 0 olmalıdır.
3
aa, bb ve cc sayılarının tamamının negatif olduğunu kullanarak seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini inceleyin.
(a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin her zaman pozitif olduğu görülür.
a<0a < 0 ve c<0c < 0 olduğundan toplamları a+c<0a + c < 0 (negatif) olur. Negatif olan bu toplamı, yine negatif olan bb sayısı ile çarptığımızda sonucun daima pozitif olduğu görülür.

Key Concept

Negatif ve pozitif sayıların çarpma, toplama ve bölme işlemlerindeki işaret kuralları
Question 8Question →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x⋅y2>0x \cdot y^2 > 0
x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0
y−x<0y - x < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: zx−y\frac{z}{x - y}

Answer

Paydasında pozitif bir değer ve payında negatif bir değer bulunduran zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinin değeri her zaman negatiftir.
Doğru olan seçenekteki zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinde, y<xy < x olduğundan payda kısmındaki x−yx - y farkı kesinlikle pozitif bir değere sahiptir. Pay kısmındaki zz ise negatif bir sayı olduğundan, negatif bir değerin pozitif bir değere oranı her zaman negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizlik yardımıyla xx değişkeninin işaretini belirlemek.
x>0x > 0 (pozitif)
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan y2>0y^2 > 0'dır. x⋅y2>0x \cdot y^2 > 0 eşitsizliğinin sağlanabilmesi için xx sayısının da pozitif olması gerekir.
2
İkinci eşitsizlik yardımıyla zz değişkeninin işaretini belirlemek.
z<0z < 0 (negatif)
x>0x > 0 olduğundan tek kuvveti olan x3x^3 de pozitif olur. x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinde pozitif bir sayı ile çarpılan zz değerinin negatif olması gerekir.
3
Üçüncü eşitsizlik yardımıyla xx ve yy arasındaki büyüklük ilişkisini analiz etmek.
y<xy < x
y−x<0y - x < 0 eşitsizliğinde −x-x ifadesi karşı tarafa atıldığında y<xy < x bağıntısı elde edilir.
4
Elde edilen işaret ve büyüklük bilgilerine göre seçeneklerdeki ifadelerin değerini incelemek.
zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinin daima negatif olduğunu görmek.
y<xy < x bağıntısı x−y>0x - y > 0 (pozitif) anlamına gelir. Paydaki zz sayısı negatif olduğundan, negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümünün sonucu daima negatiftir.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet analizi ve temel eşitsizlik kuralları
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayıları için

a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: a⋅ca \cdot c

Answer

a⋅ca \cdot c
Sıfırdan farklı her a sayısı için a^2 daima pozitiftir. a^2 \cdot b < 0 eşitsizliğinden b'nin negatif olduğu bulunur. a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinde b negatif olduğu için, çarpımın pozitif kalabilmesi adına a \cdot c çarpımı negatif olmalıdır. Bu durum, a \cdot c ifadesinin değerinin daima negatif olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği analiz ederek b say��sının işaretini belirleyin.
a2a^2 ifadesi, sıfırdan farklı her gerçel aa sayısı için daima pozitiftir. a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 olduğuna göre pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif olacağından b<0b < 0 (negatif) olmalıdır.
Çarpımın işaretinin negatif olabilmesi için çarpanlardan birinin negatif olması gerekir.
2
İkinci eşitsizlikte b'nin işaretini yerine yazarak a ile c arasındaki ilişkiyi bulun.
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinde b<0b < 0 olduğundan, çarpımın pozitif olabilmesi için geri kalan a⋅ca \cdot c ifadesinin negatif olması gerekir (a⋅c<0a \cdot c < 0).
Negatif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı pozitif bir sonuç verir.
3
Elde edilen sonuçlara göre seçenekleri değerlendirin.
a⋅c<0a \cdot c < 0 olduğu kesin olarak bulunmuştur. Dolayısıyla a⋅ca \cdot c ifadesinin değeri daima negatiftir.
a ve c sayılarının zıt işaretli olması, çarpımlarının her koşulda negatif olmasını garanti eder.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda Çarpma ve İşaret Analizi
Question 10Question →
xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0
y⋅z<0y \cdot z < 0
x−z>0x - z > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: z−xy−x\frac{z - x}{y - x}

Answer

z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesi
Verilen eşitsizliklerden sırasıyla x<0x < 0, z<0z < 0 ve y>0y > 0 işaretleri saptanır. Bunlar birleştirildiğinde z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması bulunur. Bu doğrultuda z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde pay olan z−xz - x ifadesi, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için negatif; payda olan y−xy - x ifadesi ise büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığı için pozitiftir. Negatif bir değerin pozitif bir değere oranı daima negatif sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği inceleyerek xx değişkeninin işaretini belirlemek.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinde y≠0y \neq 0 olduğundan çift kuvveti olan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın sonucunun negatif olması için x3<0x^3 < 0 olmalıdır, bu da x<0x < 0 (negatif) demektir.
Çift kuvvetli terimlerin daima pozitif olmasından yararlanarak tek bilinmeyenli bir işaret analizi yapmak.
2
Üçüncü eşitsizlik yardımıyla zz değişkeninin işaretini ve xx ile olan ilişkisini belirlemek.
x−z>0  ⟹  x>zx - z > 0 \implies x > z olur. x<0x < 0 olduğu bilindiğine göre, z<x<0z < x < 0 elde edilir. Buradan zz sayısının da negatif (z<0z < 0) oldu��u sonucuna ulaşılır.
Bulunan xx işaretini diğer eşitsizlikte yerine koyarak zz hakkında kesin bilgi edinmek.
3
İkinci eşitsizlikten yararlanarak yy değişkeninin işaretini bulmak ve tüm değişkenleri sıralamak.
y⋅z<0y \cdot z < 0 eşitsizliğinde z<0z < 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için yy sayısının pozitif (y>0y > 0) olması gerekir. Sonuç olarak z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması elde edilir.
Tüm değişkenlerin işaretlerini belirleyip sayı doğrusu üzerindeki yerlerini netleştirmek.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini bu sıralamaya göre değerlendirmek.
z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde; pay kısmında z<x  ⟹  z−x<0z < x \implies z - x < 0 (negatif), payda kısmında ise x<y  ⟹  y−x>0x < y \implies y - x > 0 (pozitif) elde edilir. Negatifin pozitife bölümü daima negatif olacağından bu ifade kesinlikle negatiftir.
Elde edilen işaret ve büyüklük bilgilerini kullanarak kesin olarak negatif olan ifadeyi bulmak.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Belirleme ve Eşitsizlik Yorumlama
Estimated Time:1m 30s
Question 11Question →

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

a−b>a−ca - b > a - c
a⋅bb−c<0\frac{a \cdot b}{b - c} < 0
a+c=0a + c = 0

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

Show answer & explanation

Answer: a⋅c+ba \cdot c + b

Answer

a⋅c+ba \cdot c + b
İşaret analizi yapıldığında a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 olduğu bulunur. Buna göre, a⋅ca \cdot c ifadesi negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir. Negatif bir sayıya negatif olan bb sayısı eklendiğinde elde edilen toplam da kesinlikle negatif olur.

Step-by-Step Solution

1
a−b>a−ca - b > a - c e��itsizliğinde her iki taraftan aa çıkarılarak sadeleştirme yapılır.
−b>−c-b > -c elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki tarafı −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve b<cb < c sonucuna ulaşılır.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini belirlemek için.
2
b<cb < c bağıntısı kullanılarak b−cb - c ifadesinin işareti belirlenir.
b<c⇒b−c<0b < c \Rightarrow b - c < 0 yani negatif olduğu bulunur.
Rasyonel ifadenin paydasının işaretini bilmek, payın işaretini bulmamızı sağlayacaktır.
3
a⋅bb−c<0\frac{a \cdot b}{b - c} < 0 eşitsizliği analiz edilir.
Payda (b−cb - c) negatif olduğundan, bölümün negatif çıkması için pay kısmındaki a⋅ba \cdot b ifadesinin pozitif olması gerekir (a⋅b>0a \cdot b > 0). Bu durum aa ve bb sayılarının aynı işaretli olduğunu gösterir.
Çarpımın işaret kuralını uygulayarak değişkenlerin işaret ilişkisini bulmak için.
4
a+c=0a + c = 0 eşitliği ve b<cb < c eşitsizliği birlikte değerlendirilir.
a+c=0⇒a=−ca + c = 0 \Rightarrow a = -c olur. Bu durumda aa ile cc zıt işaretlidir. aa ile bb aynı işaretli olduğuna göre, bb ile cc de zıt işaretli olmalıdır. b<cb < c olduğundan, küçük olan bb negatif (b<0b < 0), büyük olan cc ise pozitif (c>0c > 0) olmalıdır. Dolayısıyla aa da negatif (a<0a < 0) olur. Sonuç olarak işaretler: a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 şeklindedir.
Her bir değişkenin kesin işaretini belirlemek için.
5
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretleri elde edilen a<0a < 0, b<0b < 0, c>0c > 0 değerlerine göre incelenir.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde; a<0a < 0 ve c>0c > 0 olduğundan a⋅c<0a \cdot c < 0 (negatif) olur. Negatif bir sayıya negatif olan bb sayısı eklendiğinde (a⋅c+ba \cdot c + b) sonuç kesinlikle negatif olur.
Doğru seçeneği doğrulamak için.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem ve eşitsizlik özellikleri kullanılarak sayıların işaretlerinin belirlenmesi.

Hints

1
a−b>a−ca - b > a - c eşitsizliğinden yola çıkarak bb ile cc arasındaki büyüklük ilişkisini belirleyin.
2
b<cb < c olduğundan b−cb - c farkının negatif olduğunu görebiliriz. Bu bilgiyi rasyonel ifadeden a⋅ba \cdot b çarpımının işaretini bulmak için kullanın.
3
aa ile bb aynı işaretlidir. a+c=0a + c = 0 bağıntısı aa ile cc'nin zıt işaretli olduğunu gösterir. Buradan tüm sayıların işaretlerini sırasıyla belirleyebilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde rasyonel ve üslü ifadeler içeren işaret belirleme soruları çözerek eşitsizlik yönü kurallarını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıların işaretlerini belirledikten sonra, a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 gibi koşulları sağlayan basit değerler seçip seçeneklerde yerine koyarak da hangisinin kesinlikle negatif olduğunu görebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Pozitif ve Negatif Sayılar Practice Questions — ALES | Examkin