Examkin

Question

Difficulty: Very hardPozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a+b+c<0a + b + c < 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, değeri her zaman pozitif olan ifade hangisidir?

  1. A
    (a−b)⋅(a−c)(a - b) \cdot (a - c)
  2. (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c)Answer
  3. C
    (a−c)⋅(b−c)(a - c) \cdot (b - c)
  4. D
    a⋅(b+c)a \cdot (b + c)
  5. E
    c⋅(a−b)c \cdot (a - b)

Answer

İki çarpanı da her koşulda aynı işaretli olan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesi her zaman pozitiftir.
Doğru seçenekte yer alan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesindeki iki çarpan, problemin koşullarından türetilen her iki geçerli durumda da aynı işarete sahip olmaktadır. Çarpanların ikisi birden negatif veya ikisi birden pozitif olduğundan, bu iki ifadenin çarpımı her zaman pozitif bir değer verir.

Step-by-Step Solution

1
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak sayıların işaret durumlarını belirlemek.
Sayıların üçü de pozitif olamaz, çünkü toplamları negatiftir (a+b+c<0a + b + c < 0). Bu durumda sayıların biri pozitif, diğer ikisi negatiftir. Olası işaret kombinasyonları (+,−,−)(+, -, -), (−,+,−)(-, +, -) ve (−,−,+)(-, -, +) şeklindedir.
Çarpımın sonucunun pozitif olması için negatif çarpan sayısının çift olması gerekir.
2
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0 eşitsizliği ile olası işaret kombinasyonlarını test etmek.
Eğer işaretler (−,−,+)(-, -, +) olsaydı, a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 olurdu. Bu durumda b−c<0b - c < 0 olacağından a⋅(b−c)=(−)⋅(−)>0a \cdot (b - c) = (-) \cdot (-) > 0 çelişkisi doğardı. Geriye sadece iki geçerli durum kalır:
Durum 1: a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0
Durum 2: a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0
Eşitsizlik sisteminin tüm kurallarının aynı anda sağlanması zorunludur.
3
Geçerli iki durum için bb ile cc sayıları arasındaki büyüklük ilişkisini incelemek.
Durum 1'de (a>0a > 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c<0  ⟹  b<ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c < 0 \implies b < c olur.
Durum 2'de (a<0a < 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c>0  ⟹  b>ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c > 0 \implies b > c olur (zaten pozitif olan bb, negatif olan cc'den büyüktür).
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir.
4
Elde edilen veriler doğrultusunda (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesinin işaretini her iki durum için ayrı ayrı hesaplamak.
Durum 1 için (a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0 ve b<cb < c): b−a<0b - a < 0 (negatif - pozitif) ve b−c<0b - c < 0 olduğundan çarpım (−)⋅(−)=+(-) \cdot (-) = + olur.
Durum 2 için (a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0 ve b>cb > c): b−a>0b - a > 0 (pozitif - negatif) ve b−c>0b - c > 0 (pozitif - negatif) olduğundan çarpım (+)⋅(+)=+(+) \cdot (+) = + olur. Her iki durumda da sonuç pozitiftir.
Tüm olası durumlarda ifadenin işaretinin değişmediğini kanıtlamak.

Key Concept

Negatif ve pozitif sayıların çarpma ve çıkarma işlemleri altındaki işaret davranışları ile eşitsizlik yönü kuralları.
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic