Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Ardışık nn tane pozitif tam sayının toplamı 504504'tür.

n>2n > 2 olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı nn değeri vardır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

5
Ardışık sayıların toplam formülü kullanılarak n(2a+n+1)=1008n(2a+n+1) = 1008 denklemi elde edilir. Çarpanlardan birinin tek, diğerinin çift olması gerektiği ve 2a+n+1>n2a+n+1 > n eşitsizliği analiz edildiğinde, n>2n > 2 kısıtlaması altında nn sayısı 3,7,9,163, 7, 9, 16 ve 2121 olmak üzere 5 farklı değer alabilir. Bu nedenle doğru cevap 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanarak denklem kurun.
n⋅(2a+n+1)=1008n \cdot (2a + n + 1) = 1008 (a≥0a \ge 0 ve n>2n > 2)
Ardışık nn tane pozitif tam sayının ilk terimi a+1a+1 ve son terimi a+na+n olsun. Terimler toplamı n⋅(2a+n+1)2=504\frac{n \cdot (2a + n + 1)}{2} = 504 formülü ile hesaplanır. Buradan iki çarpanın çarpımı 10081008 olacak şekilde bir eşitlik elde ederiz.
2
10081008 sayısını asal çarpanlarına ayırın ve çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz edin.
1008=24⋅32⋅71008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 olup çarpanlardan biri tek, diğeri çifttir.
nn ve 2a+n+12a + n + 1 çarpanlarının toplamı 2a+2n+12a + 2n + 1 olup daima tektir. Toplamları tek olan iki tam sayının teklik-çiftlik karakterleri farklı olmalıdır. Bu yüzden çarpanlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
10081008'in tek çarpanlarını listeleyerek her bir durum için nn değerlerini belirleyin.
Tek çarpanlar 1,3,7,9,21,631, 3, 7, 9, 21, 63 olup, nn için elde edilen geçerli değerler 3,7,9,16,213, 7, 9, 16, 21 olmak üzere 55 tanedir.
2a+n+1>n2a + n + 1 > n olduğundan, küçük olan çarpan her zaman nn olmalıdır. n>2n > 2 koşulunu sağlamayan n=1n=1 durumu elenir. Diğer tüm tek çarpanlar için geçerli bir aa doğal sayısı elde edilir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı formülleri yardımıyla kurulan denklemlerin çarpan analizi yapılarak çözülmesi.
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic