Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 artırılıp, onlar basamağındaki rakam 3 azaltıldığında elde edilen yeni sayı; ABCABC sayısının onlar ve birler basamağının yer değiştirilmesiyle elde edilen üç basamaklı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayıları için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    12
  3. C
    13
  4. 14Answer
  5. E
    15

Answer

Verilen koşulu sağlayan ABCABC sayılarının rakamları toplamı 14'tür.
Soruda verilen yönergeler takip edilerek kurulan ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 denklemi çözümlendiğinde 100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 eşitliği elde edilir. Burada rakam sınırlandırmaları (0≤A,B,C≤90 \le A, B, C \le 9 ve A≠0A \neq 0) uygulandığında yalnızca iki çözüm bulunur: 167167 ve 293293. Her iki sayının da rakamları toplamı 14'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC sayısının basamaklarındaki değişimlerin say�� değerine etkisini belirleyerek denklemi kurun.
ABCABC sayısının yüzler basamağı 2 artırılırsa sayı değeri 200 artar, onlar basamağı 3 azaltılırsa sayı değeri 30 azalır. Dolayısıyla yeni sayı ABC+170ABC + 170 olur. Bu sayı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olduğuna göre denklemimiz: ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 olarak kurulur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.
2
Elde edilen denklemi çözümleme (basamak analizi) yöntemiyle açarak sadeleştirin.
100A+10B+C+170=2(100A+10C+B)−15100A + 10B + C + 170 = 2(100A + 10C + B) - 15 100A+10B+C+185=200A+20C+2B100A + 10B + C + 185 = 200A + 20C + 2B Terimleri düzenlersek: 185+8B=100A+19C185 + 8B = 100A + 19C elde edilir.
Bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi daha basit bir formda analiz edebilmek için.
3
A,B,CA, B, C rakamlarının alabileceği değerleri inceleyin.
100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 denkleminde B≤9B \le 9 olduğundan 8B≤728B \le 72 olur. Buradan 100A+19C100A + 19C ifadesinin değeri [185,257][185, 257] aralığında olmalıdır. Bu durumda AA rakamı sadece 1 veya 2 olabilir.

A=1A = 1 için: 19C−8B=85  ⟹  C=719C - 8B = 85 \implies C = 7 ve B=6B = 6 bulunur. Sayımız 167167 olur.

A=2A = 2 için: 8B−19C=15  ⟹  B=98B - 19C = 15 \implies B = 9 ve C=3C = 3 bulunur. Sayımız 293293 olur.
Rakamların 0 ile 9 arasındaki tam sayılar olması sınırlandırmasını kullanarak olası çözümleri bulmak için.
4
Bulunan sayılar için rakamlar toplamını (A+B+CA + B + C) hesaplayın.
167167 sayısı için: 1+6+7=141 + 6 + 7 = 14
293293 sayısı için: 2+9+3=142 + 9 + 3 = 14
Her iki durumda da rakamlar toplamı 14 çıkmaktadır.
İstenen ortak toplamı elde etmek için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic