Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Bir spor salonundaki sporcuların kümesi EE evrensel kümesidir. Bu sporculardan düzenli olarak kardiyo yapanların kümesi KK, ağırlık antrenmanı yapanların kümesi ise AA olarak belirlenmiştir.

Bu spor salonunda;
* Sadece ağırlık antrenmanı yapanların sayısı, hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların sayısının 4 katıdır.
* Kardiyo yapan sporcuların sayısı, sadece ağırlık antrenmanı yapan sporcuların sayısından 2 fazladır.
* Bu iki aktiviteden en az birini yapan toplam 50 sporcu bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda sadece kardiyo yapan sporcu sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. 20Answer
  3. C
    24
  4. D
    26
  5. E
    30

Answer

Sadece kardiyo yapan sporcu sayısı 20'dir.
Sorudaki veriler doğrultusunda hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanlar s(K∩A)=ys(K \cap A) = y, sadece ağırlık antrenmanı yapanlar s(A∖K)=4ys(A \setminus K) = 4y ve sadece kardiyo yapanlar s(K∖A)=3y+2s(K \setminus A) = 3y + 2 olarak belirlenir. Bu üç bölgenin toplamı olan s(K∪A)=8y+2=50s(K \cup A) = 8y + 2 = 50 eşitliğinden y=6y = 6 bulunur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı 3(6)+2=203(6) + 2 = 20 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade etme
Hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların kümesi K∩AK \cap A ve eleman sayısı s(K∩A)=ys(K \cap A) = y olsun. Sadece ağırlık antrenmanı yapanların kümesi A∖KA \setminus K olur. Birinci koşula göre, s(A∖K)=4ys(A \setminus K) = 4y olarak yazılır.
Problemdeki oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edebilmek amacıyla bu adım yapılır.
2
Kardiyo yapanların ve sadece kardiyo yapanların sayısını bulma
Kardiyo yapan sporcuların kümesi KK olup eleman sayısı s(K)=s(K∖A)+s(K∩A)s(K) = s(K \setminus A) + s(K \cap A) şeklindedir. İkinci koşula göre, s(K)=s(A∖K)+2⇒s(K)=4y+2s(K) = s(A \setminus K) + 2 \Rightarrow s(K) = 4y + 2 olur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı s(K∖A)=s(K)−s(K∩A)=(4y+2)−y=3y+2s(K \setminus A) = s(K) - s(K \cap A) = (4y + 2) - y = 3y + 2 bulunur.
Kardiyo yapanların kümesini oluşturan bölgeleri ve sadece kardiyo yapan bölgeyi tanımlamak için bu adım yapılır.
3
Bilinmeyeni çözme ve hedef değeri hesaplama
En az birini yapanların toplamı s(K∪A)=s(K∖A)+s(A∖K)+s(K∩A)=50s(K \cup A) = s(K \setminus A) + s(A \setminus K) + s(K \cap A) = 50 olarak verilmiştir. Değerleri yerine yazarsak; (3y+2)+4y+y=50⇒8y+2=50⇒8y=48⇒y=6(3y + 2) + 4y + y = 50 \Rightarrow 8y + 2 = 50 \Rightarrow 8y = 48 \Rightarrow y = 6 elde edilir. Bizden istenen sadece kardiyo yapanlar s(K∖A)=3y+2=3(6)+2=20s(K \setminus A) = 3y + 2 = 3(6) + 2 = 20 olarak bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısından yararlanarak bilinmeyen yy değerini bulup sadece kardiyo yapanların sayısını hesaplamak için bu adım yapılır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin şema ve denklemlerle modellenmesi.
Rate this question

Topics

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

More questions from this topic