Özel Tanımlı İşlemler Practice Questions — ALES — Page 2

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\square$ ve $\Delta$ işlemleri,

a \square b = \frac{a \cdot b}{a + b - 1}

a \Delta b = a^2 - b + 2

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, $(3 \square 4) \Delta 5$ işleminin sonucu kaçtır?

25

-3

11

1

33

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

1

Soruda verilen kurallara göre öncelikle parantez içindeki

3 \square 4

işlemi gerçekleştirilir. Formülde değişkenler yerine yazıldığında

\frac{3 \cdot 4}{3+4-1} = \frac{12}{6} = 2

bulunur. İkinci adımda ise bu sonuç

\Delta

işleminde yerine konularak

2 \Delta 5

ifadesi hesaplanır. Buradan da

2^2 - 5 + 2 = 4 - 5 + 2 = 1

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 1'dir.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki

3 \square 4

işlemini hesaplayın.

3 \square 4 = 2

İşlem önceliği gereği öncelikle parantez içi çözülür. Tanıma göre

a=3

ve

b=4

yazıldığında

\frac{3 \cdot 4}{3 + 4 - 1} = \frac{12}{6} = 2

elde edilir.

2

Elde edilen sonucu dıştaki işlemde yerine yazarak

2 \Delta 5

değerini bulun.

2 \Delta 5 = 1

\Delta

işleminin tanımına göre

a=2

ve

b=5

yazıldığında

2^2 - 5 + 2 = 4 - 5 + 2 = 1

sonucuna ulaşılır.

Key Concept

İki farklı özel tanımlı işlemin kurallarını işlem sırasına ve önceliğine dikkat ederek adım adım uygulama.

Question 22Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\blacktriangle$ ve $\blacktriangledown$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

* $n^{\blacktriangle}$ : $n$ sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı
* $n^{\blacktriangledown}$ : $n$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı

Buna göre,

x^{\blacktriangle} + x^{\blacktriangledown} = 15

eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük

x

doğal sayısı ile iki basamaklı en büyük

x

doğal sayısının toplamı kaçtır?

61

76

111

126

138

Show answer & explanation

Answer: 111

Answer

Eşitliği sağlayan iki basamaklı en küçük sayı ile en büyük sayının toplamı 111'dir.

Verilen işlemlere göre

x^{\blacktriangle} + x^{\blacktriangledown} = 15

denklemini sağlayan iki basamaklı en küçük sayı

13

(

13 + 2 = 15

), en büyük sayı ise

98

'dir (

98 = 2 \cdot 7^2 \implies 9 + 6 = 15

). Bu iki değerin toplamı 111 seçeneğini verir.

Step-by-Step Solution

1

Tanımları ve sınırları belirleme

x \ge 10

için

x

en az bir asal bölene sahiptir. Bu durumda

x^{\blacktriangle} \ge 2

ve

x^{\blacktriangledown} \ge 2

olmalıdır.

P = x^{\blacktriangle}

ve

D = x^{\blacktriangledown}

dersek,

P + D = 15

denklemini incelememiz gerekir.

Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını s��nırlandırmak çözüm adımlarını kolaylaştırır.

2

D'nin küçük değerleri için durum analizi yapma (

D = 2

ve

D = 6

durumları)

1)

D = 2 \implies P = 13

:

x

sayısının pozitif bölen sayısı 2 ise

x

asal sayıdır. Asal bölenlerinin toplamı 13 ise

x = 13

olur (İki basamaklı en küçük çözüm).
2)

D = 6 \implies P = 9

:

x = p^2 \cdot q

formunda olmalıdır (

p, q

farklı asallar).

p+q=9 \implies p=2, q=7 \implies x = 2^2 \cdot 7 = 28

veya

p=7, q=2 \implies x = 7^2 \cdot 2 = 98

(İki basamaklı en büyük çözüm).

Çarpanlarına ayırma kurallarını kullanarak olası sayı formlarını elde etmek gerekir.

3

D'nin diğer değerleri için durum analizi yapma (

D = 8

ve

D = 10

durumları)

3)

D = 8 \implies P = 7

:

x = p^3 \cdot q

formunda olmalıdır.

p+q=7 \implies p=2, q=5 \implies x = 2^3 \cdot 5 = 40

elde edilir.
4)

D = 10 \implies P = 5

:

x = p^4 \cdot q

formunda olmalıdır.

p+q=5 \implies p=2, q=3 \implies x = 2^4 \cdot 3 = 48

elde edilir.

Tüm iki basamaklı çözümleri eksiksiz bularak en büyük ve en küçük değerlerden emin olmak hedeflenir.

4

En küçük ve en büyük değerlerin toplamını hesaplama

İki basamaklı en küçük

x

değeri 13, en büyük

x

değeri 98'dir. Toplamları:

13 + 98 = 111

olur.

Soruda istenen nihai toplama işlemini gerçekleştirmek.

Key Concept

Asal Bölenler ve Pozitif Bölen Sayısı Üzerine Tanımlı Fonksiyonlar

Hints

1

x

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali

x = p^a \cdot q^b \dots

olsun. Bu durumda pozitif bölen sayısını

(a+1)(b+1)\dots

formülüyle hesaplayabileceğinizi hatırlayın.

2

x^{\blacktriangle}

ve

x^{\blacktriangledown}

değerlerinin her ikisinin de en az 2 olması gerektiğini düşünerek toplamları 15 olan sayı ikililerini (

2+13

,

3+12

, vb.) tek tek analiz edin.

3

Özellikle asal sayıların (

D=2

) ve

p^2 \cdot q

formundaki sayıların (

D=6

) bu eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Practice More

Benzer şekilde

x^{\blacktriangle} - x^{\blacktriangledown} = 5

eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük sayıyı bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Çözüm aşamasında toplamları 15 olan pozitif bölen sayısı (

D

) ve asal bölen toplamı (

P

) değerleri için

D

değerinin alabileceği sınırları düşünün.

D

değeri büyüdükçe sayının çarpan sayısı artar, dolayısıyla iki basamaklı sayı sınırını aşma eğilimi gösterir. Bu nedenle sadece

D \in \{2, 6, 8, 10\}

durumlarını incelemek yeterlidir.

Estimated Time:2m 30s

Question 23Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde $\Delta$ ve $*$ işlemleri,

a \Delta b = 3a - 2b

a * b = 2a + b - 3

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x * 4) \Delta 5 = 11

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan x gerçel sayısı 3'tür.

Doğru cevap 3'tür. Denklemde dıştaki \Delta işlemi uygulandığında parantez içindeki ifadenin değeri 7 olarak bulunur. Ardından parantez içindeki * işlemi uygulandığında x değeri 3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

(x * 4) ifadesini y değişkeniyle temsil etme

y = x * 4 olsun. Denklem y \Delta 5 = 11 olur.

İşlem önceliğine göre dıştaki işlemi çözerek adım adım ilerlemek için parantez içi geçici olarak tek bir değişken kabul edilir.

2

\Delta i��leminin tanımını uygulayarak y değerini bulma

3y - 2(5) = 11 \Rightarrow 3y - 10 = 11 \Rightarrow 3y = 21 \Rightarrow y = 7

\Delta işleminin tanımı a \Delta b = 3a - 2b şeklindedir; burada birinci bileşen a yerine y ve ikinci bileşen b yerine 5 yazılmıştır.

3

* işleminin tanımını uygulayarak x değerini bulma

x * 4 = 7 \Rightarrow 2x + 4 - 3 = 7 \Rightarrow 2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3

* işleminin tanımı a * b = 2a + b - 3 şeklindedir; burada birinci bileşen a yerine x ve ikinci bileşen b yerine 4 yazılarak sonuç 7'ye eşitlenmiştir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler ve denklem çözümü

Question 24Question →

Her

x

ve

y

tam sayısı için

\square

işlemi,

x \square y = x^2 - y \cdot x

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $3 \square 4$ işleminin sonucu kaçtır?

15

-6

-3

3

4

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

İşlemin doğru sonucu -3'tür.

Tanımlanan işlemde

x

yerine 3,

y

yerine 4 yazıldığında ifade

3^2 - 4 \cdot 3

şeklini alır. Burada öncelikle üs alma işlemi yapılarak

3^2 = 9

elde edilir. Ardından çarpma işlemi yapılarak

4 \cdot 3 = 12

elde edilir. Son olarak çıkarma işlemi yapıldığında

9 - 12 = -3

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt -3 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen işlem tanımında x yerine 3 ve y yerine 4 yazılır.

3 \square 4 = 3^2 - 4 \cdot 3

Soruda sorulan

3 \square 4

ifadesinin değerini bulmak için tanımlanan işlemde değişkenlerin yerine konulması gerekir.

2

Üslü sayı ve çarpma işlemleri öncelikli olarak hesaplanır.

3^2 = 9

ve

4 \cdot 3 = 12

Matematiksel işlemlerde işlem önceliği kurallarına göre üs alma ve çarpma işlemleri, çıkarma işleminden önce gerçekleştirilir.

3

Elde edilen değerler çıkarılarak nihai sonuç bulunur.

9 - 12 = -3

Çıkarma işlemi tamamlanarak işlemin sonucu elde edilir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin doğru eşleştirilerek işlem önceliği kurallarına uygun şekilde yerine yazılması

Estimated Time:1m 0s

Question 25Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde $\diamondsuit$ işlemi,

a \diamondsuit b = \begin{cases} a^2 - b, & a < b \text{ ise} \\ b^2 + a, & a \geq b \text{ ise} \end{cases}

bi��iminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(2 \diamondsuit 3) \diamondsuit (4 \diamondsuit 1)$ işleminin sonucu kaçtır?

-4

4

-14

26

-16

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

-4 değeri doğru cevaptır.

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında, ilk olarak

2 \diamondsuit 3

işleminde

2 < 3

olduğu için

a^2 - b

kuralı uygulanır ve

1

elde edilir. İkinci olarak

4 \diamondsuit 1

işleminde

4 \geq 1

olduğu için

b^2 + a

kuralı uygulanır ve

5

elde edilir. Son adımda bu iki sonucun

\diamondsuit

işlemine tabi tutulmasıyla oluşan

1 \diamondsuit 5

işleminde

1 < 5

olduğu için tekrar

a^2 - b

kuralı uygulanır ve

1^2 - 5 = -4

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt

-4

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

2 \diamondsuit 3

işlemini hesaplayın.

2 \diamondsuit 3 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1

2 < 3

olduğundan

a < b

koşuluna uyan

a^2 - b

formülü kullanılır.

2

4 \diamondsuit 1

işlemini hesaplayın.

4 \diamondsuit 1 = 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5

4 \geq 1

olduğundan

a \geq b

koşuluna uyan

b^2 + a

formülü kullanılır.

3

Elde edilen sonuçları ana işlemde yerine yazarak

1 \diamondsuit 5

işlemini hesaplayın.

1 \diamondsuit 5 = 1^2 - 5 = 1 - 5 = -4

1 < 5

olduğundan

a < b

koşuluna uyan

a^2 - b

formülü kullanılır.

Key Concept

Koşullu veya parçalı tanımlanmış özel işlemlerin sırasıyla ve kurallara uygun biçimde çözülmesi.

Hints

1

Parantez içindeki işlemleri öncelikle hesaplayın. Her işlem için sayıların büyüklük ilişkisini kontrol edin.

2

2 \diamondsuit 3

işleminde

2 < 3

olduğundan üstteki satırı,

4 \diamondsuit 1

işleminde

4 \geq 1

olduğundan alttaki satırı kullanın.

3

Bulduğunuz sonuçları sırasıyla yerlerine yazarak son adımda

1 \diamondsuit 5

işlemini gerçekleştirin.

Practice More

Koşullu tanımlanmış işlemlerde her aşamada değişkenlerin rollerini (hangisinin

a

, hangisinin

b

olduğunu) yeniden netleştirerek işlem yapın.

Estimated Time:1m 30s

Question 26Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\oplus$ ve $\otimes$ işlemleri,

a \oplus b = a^2 - b

a \otimes b = 2^a - b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x \otimes 3) \oplus 9 = 16

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

3

Verilen işlemlere göre

(x \otimes 3) \oplus 9 = 16

eşitliğinde parantez içindeki ifadeye

Y

dersek,

Y \oplus 9 = Y^2 - 9 = 16

olur. Buradan

Y^2 = 25

ve pozitif tam sayılarda çalıştığımız için

Y = 5

bulunur. Bulduğumuz bu değeri yerine yazarsak

x \otimes 3 = 5 \Rightarrow 2^x - 3 = 5 \Rightarrow 2^x = 8

elde edilir. Tabanı 2 olan ve sonucu 8 veren üslü ifadenin üssü 3 olduğundan

x = 3

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştirin.

x \otimes 3 = Y

olsun. Bu durumda denklem

Y \oplus 9 = 16

haline gelir.

Soruyu iki aşamalı olarak çözmek ve işlem kalabalığını önlemek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır.

2

\oplus

işleminin tanımını uygulayarak

Y

değerini bulun.

Y \oplus 9 = Y^2 - 9 = 16

olur. Buradan

Y^2 = 25

bulunur. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan

Y = 5

olarak elde edilir.

a \oplus b = a^2 - b

tanımına göre birinci bileşenin karesinden ikinci bileşen çıkarılır.

3

Y

değerini yerine yazarak

x

bilinmeyenini içeren denklemi çözün.

x \otimes 3 = 5

denkleminde

\otimes

işleminin tanımı uygulanırsa

2^x - 3 = 5

elde edilir. Buradan

2^x = 8

bulunur.

2^3 = 8

olduğundan

x = 3

olarak bulunur.

a \otimes b = 2^a - b

tanımına göre

x \otimes 3

ifadesi

2^x - 3

olarak yazılır ve üslü denklem çözülerek

x

bulunur.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlar ve işlemler ile üslü denklem çözümü

Question 27Question →

Gerçel sayılar kümesinde

\Delta

ve

*

işlemleri,

a \Delta b = a \cdot b - 2(a + b)

a * b = 3a - b

biçiminde tanımlanmaktadır.

Buna göre,

(x * 1) \Delta 4 = 8

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan

x

değeri 3'tür.

Tanımlanan işlemler sırasıyla uygulandığında dıştaki işlemin sonucu

x * 1 = 8

olarak bulunur. Ardından içteki işlem tanımı uygulandığında

3x - 1 = 8

denklemi elde edilir ve buradan

x = 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x * 1

ifadesine geçici olarak

A

değişkeni atanır ve

A \Delta 4 = 8

denklemi kurulur.

A \Delta 4 = A \cdot 4 - 2(A + 4) = 8

Dıştaki işlemi çözerek içteki ifadenin değerine ulaşmak.

2

Elde edilen denklem düzenlenerek

A

değeri yalnız bırakılır.

2A - 8 = 8 \implies 2A = 16 \implies A = 8

Bilinmeyen

A

değerini hesaplamak.

3

A = x * 1

eşitliğinde

A

yerine 8 yazılarak

x

değişkenine bağlı denklem elde edilir ve çözülür.

3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3

*

işleminin tanımını uygulayıp hedef bilinmeyen olan

x

değerini bulmak.

Key Concept

Özel tanımlı işlem sembollerini cebirsel ifadelere dönüştürerek adım adım denklem çözme.

Question 28Question →

İki basamaklı

AB

ve

CD

doğal sayıları için

\boxplus

işlemi,

(AB) \boxplus (CD) = A \cdot D + B \cdot C

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(23) \boxplus (xy) = 28

eşitliğini sağlayan ve rakamları birbirinden farklı kaç farklı iki basamaklı

xy

doğal sayısı vardır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan 3 farklı iki basamaklı

xy

doğal sayısı vardır.

İşlem tanımına göre

(23) \boxplus (xy) = 2y + 3x = 28

eşitliği kurulur. Bu eşitliği sağlayan ve

x

ile

y

'nin birer rakam (ve

x \neq 0

) olma koşulunu sağlayan

xy

sayıları

48

,

65

ve

82

olmak üzere üç tanedir. Bu sayıların tamamında rakamlar birbirinden farklıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tanımlanan işlemi verilen sayılara uygulamak.

(23) \boxplus (xy) = 2 \cdot y + 3 \cdot x

ifadesi elde edilir.

Tanımda

(AB) \boxplus (CD) = A \cdot D + B \cdot C

olarak verildiği için

A=2

,

B=3

,

C=x

ve

D=y

alınarak formülde yerine yazılır.

2

Elde edilen ifadeyi işlemin sonucuna eşitlemek.

3x + 2y = 28

denklemi kurulur.

İşlemin sonucunun 28 olduğu soruda belirtilmiştir.

3

Denklemi sağlayan

x

ve

y

rakamlarını belirlemek.

3x + 2y = 28

denkleminde

2y

ve

28

çift sayı olduğundan

3x

ifadesi ve dolayısıyla

x

rakamı çift olmalıdır.

xy

iki basamaklı sayı olduğundan

x \neq 0

olmalıdır. Bu durumda

x

değeri 2, 4, 6 veya 8 olabilir:
-

x = 2

için

6 + 2y = 28 \implies 2y = 22 \implies y = 11

(11 bir rakam olmadığından çözüm gelmez).
-

x = 4

için

12 + 2y = 28 \implies 2y = 16 \implies y = 8

(Rakamları farklı

xy = 48

sayısı elde edilir).
-

x = 6

için

18 + 2y = 28 \implies 2y = 10 \implies y = 5

(Rakamları farklı

xy = 65

sayısı elde edilir).
-

x = 8

için

24 + 2y = 28 \implies 2y = 4 \implies y = 2

(Rakamları farklı

xy = 82

sayısı elde edilir).

x

ve

y

değerlerinin iki basamaklı

xy

sayısını oluşturan birer rakam olma koşulunu sağlaması gerekir.

4

Koşulları sağlayan sayıların toplam adedini bulmak.

48

,

65

ve

82

olmak üzere toplam 3 adet sayı vardır.

Bulunan her üç sayının da rakamları birbirinden farklıdır ve iki basamaklıdır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde değişkenleri yerlerine yazarak denklem kurma ve rakam/basamak koşullarına uygun tam sayı çözümlerini bulma.

Estimated Time:1m 30s

Özel Tanımlı İşlemler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes