Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x⋅z>0x \cdot z > 0
x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0
x+y>0x + y > 0
y+z<0y + z < 0

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

  1. A
    z<x<yz < x < y
  2. B
    y<x<zy < x < z
  3. y<z<xy < z < xAnswer
  4. D
    x<y<zx < y < z
  5. E
    z<y<xz < y < x

Answer

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler incelendiğinde; yy'nin negatif, xx ve zz'nin pozitif olduğu görülür. Toplam eşitsizliklerinden x>∣y∣x > |y| ve z<∣y∣z < |y| sonuçları çıkarılır. Bu durum pozitif sayılar arasında z<xz < x sıralamasını, negatif sayı yy'nin ise en küçük olduğunu gösterir (y<z<xy < z < x).

Step-by-Step Solution

1
Çarpım eşitsizliklerinden sayıların işaretlerini belirle.
xx ve zz aynı işaretlidir (x⋅z>0x \cdot z > 0). x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0 olduğundan ve xzxz pozitif olduğundan, yy kesinlikle negatiftir (y<0y < 0).
Üç sayının çarpımı negatif, ikisinin çarpımı pozitifse, kalan sayı negatif olmalıdır.
2
Toplam eşitsizliklerini kullanarak xx ve zz'nin işaretini kesinleştir.
xx ve zz negatiftir varsayımı yapılırsa x+yx+y (iki negatifin toplamı) negatif olurdu. Ancak x+y>0x+y > 0 verildiği için xx pozitif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan zz de pozitiftir.
İşaret tablosu: x(+),z(+),y(−)x(+), z(+), y(-).
3
yy'nin mutlak değerine göre büyüklük sıralaması yap.
x+y>0⇒x>−yx + y > 0 \Rightarrow x > -y. (Burada −y-y, yy'nin mutlak değeridir, pozitiftir). Yani x>∣y∣x > |y|.
y+z<0⇒z<−yy + z < 0 \Rightarrow z < -y. Yani z<∣y∣z < |y|.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının toplamının işareti, mutlak değeri büyük olanın işaretini alır.
4
Elde edilen tüm bulguları sırala.
z<∣y∣z < |y| ve ∣y∣<x|y| < x olduğundan z<xz < x elde edilir. yy negatif olduğu için en küçüktür.
Sıralama: y<0<z<∣y∣<xy < 0 < z < |y| < x. Sonuç: y<z<xy < z < x.

Key Concept

Eşitsizliklerde İşaret ve Büyüklük Analizi

Hints

1
Önce çarpım durumundaki eşitsizlikleri kullanarak x,yx, y ve zz'nin işaretlerini (+ veya -) belirleyin.
2
xx ve zz aynı işaretlidir ve pozitiftirler. yy negatiftir. Toplama işlemlerinde (x+yx+y ve y+zy+z), sayıların mutlak değerleri hakkında ipucu arayın.
3
x+y>0x+y > 0 olması x>−yx > -y (yani x>∣y∣x > |y|) demektir. y+z<0y+z < 0 olması z<−yz < -y (yani z<∣y∣z < |y|) demektir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde 00 noktasını, negatif bölgedeki yy noktasını ve pozitif bölgedeki −y-y (yani ∣y∣|y|) noktasını işaretleyin. xx ve zz'yi bu referans noktalarına göre yerleştirerek görsel çözüm yapın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic