Examkin

Basit Eşitsizlikler

37 questions

Question 1Question →
xx bir tam sayı ve yy bir gerçel sayı olmak üzere,
−4<x≤3-4 < x \leq 3
−2≤y<3-2 \leq y < 3
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, 3y−2x3y - 2x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.
Soruda xx'in tam sayı, yy'nin ise gerçel sayı olduğu belirtilmiştir. Bu ayrım çözüm yöntemini belirler. xx tam sayı olduğu için, ifadeyi maksimize edecek en uygun tam sayı değeri (x=−3x=-3) doğrudan seçilerek yerine konulur. yy ise gerçel sayı olduğu için basit eşitsizlik kurallarıyla aralık genişletilir (3y<93y < 9). Sonuçta 3y−2x<153y - 2x < 15 elde edilir ve 15'ten küçük en büyük tam sayı olan 14 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi analiz et
3y−2x3y - 2x ifadesini en büyük yapmak için, 3y3y ifadesini maksimize (en büyük), 2x2x ifadesini minimize (en küçük) yapmalıyız. Çünkü çıkarma işleminde çıkan sayı ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olur.
Maksimum değer için pozitif terim en büyük, negatif terim en küçük seçilmelidir.
2
xx değişkenini değerlendir (Tam sayı)
xx bir tam sayı olduğu için, −4<x≤3-4 < x \leq 3 aralığındaki en küçük xx tam sayı değeri −3-3'tür. Bunu doğrudan yerine yazarız: −2x=−2(−3)=6-2x = -2(-3) = 6.
Tam sayı kısıtlaması olan değişkenlerde aralık genişletilmez, doğrudan değer seçilir.
3
yy değişkenini değerlendir (Gerçel sayı)
yy bir gerçel sayı olduğu için değer seçemeyiz, aralığı genişletmeliyiz. −2≤y<3-2 \leq y < 3 eşitsizliğini 3 ile çarparız: −6≤3y<9-6 \leq 3y < 9.
Gerçel sayı kısıtlamasında işlem aralık üzerinde yapılır.
4
Sonuçları birleştir
3y<93y < 9 ve −2x=6-2x = 6 (sabit değer). Eşitsizliğin her iki tarafına 6 eklersek: 3y+6<9+6⇒3y−2x<153y + 6 < 9 + 6 \Rightarrow 3y - 2x < 15.
Elde edilen sabit değer ile aralığı toplarız.
5
En büyük tam sayıyı bul
İfade 15'ten kesinlikle küçük olmalıdır (<15< 15). Bu şartı sağlayan en büyük tam sayı 14'tür.
Üst sınır dahil olmadığı için (küçüktür sembolü), sınır değerinin bir eksiği en büyük tam sayıdır.

Key Concept

Tam sayı ve gerçel sayı değişkenleri arasındaki işlem farkı

Hints

1
Sorudaki 'tam sayı' ve 'gerçel sayı' ifadelerine dikkat edin. Tam sayı denildiğinde değer seçmeli, gerçel sayı denildiğinde aralık işlemi yapmalısınız.
2
3y−2x3y - 2x ifadesinin en büyük olması için pozitif olan 3y3y'nin en büyük, başında eksi olan xx'in ise en küçük seçilmesi gerekir.
3
xx için en küçük tam sayıyı (−3-3) yerine yazın. yy için ise −2≤y<3-2 \leq y < 3 eşitsizliğini 3 ile genişleterek aralık bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, xx gerçel sayı ve yy tam sayı olduğunda en küçük değeri soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 2Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
111<12x+1≤13 \frac{1}{11} < \frac{1}{2x + 1} \leq \frac{1}{3}
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, xx'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Eşitsizliğin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.
Verilen eşitsizlikte pay ve paydalar yer değiştirildiğinde eşitsizlik yön değiştirir: 3≤2x+1<113 \leq 2x+1 < 11 elde edilir. Gerekli işlemler yapıldığında xx değerinin 1≤x<51 \leq x < 5 aralığında olduğu bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür; toplamları 10 eder.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve payda yer değiştirilerek eşitsizlik düzenlenir.
3≤2x+1<11 3 \leq 2x + 1 < 11
Pozitif terimli basit eşitsizliklerde pay ve payda yer değiştirdiğinde eşitsizlik yön değiştirir (1a<1b  ⟹  a>b\frac{1}{a} < \frac{1}{b} \implies a > b).
2
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılır.
2≤2x<10 2 \leq 2x < 10
xx'i yalnız bırakmak için toplama işleminin tersi uygulanır.
3
Eşitsizliğin her tarafı 2'ye bölünür.
1≤x<5 1 \leq x < 5
xx'in katsayısından kurtulmak için bölme işlemi yapılır. Pozitif sayıya bölündüğü için yön değişmez.
4
Aralıktaki tam sayı değerleri belirlenir ve toplanır.
Tam sayılar: {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}. Toplam: 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10.
Alt sınır (1) dahil, üst sınır (5) dahil değildir.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerde ters çevirme kuralı ve aralık analizi.

Hints

1
Eşitsizlikteki kesirleri ters çevirerek (1a→a \frac{1}{a} \to a ) xx'i pay kısmına taşıyabilirsiniz. Bunu yaparken eşitsizlik yönünün değişeceğini unutmayın.
2
İfadeleri ters çevirdiğinizde eşitsizlik 3≤2x+1<11 3 \leq 2x + 1 < 11 halini alır. Şimdi xx'i yalnız bırakmaya çalışın.
3
Her taraftan 1 çıkarıp 2'ye böldüğünüzde 1≤x<51 \leq x < 5 aralığını bulursunuz. Bu aralıktaki tam sayıları toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, negatif sayıların olduğu bir aralıkta karesi alınan ifadelerin değer aralığını bulmayı deneyin.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x⋅z>0x \cdot z > 0
x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0
x+y>0x + y > 0
y+z<0y + z < 0

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: y<z<xy < z < x

Answer

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler incelendiğinde; yy'nin negatif, xx ve zz'nin pozitif olduğu görülür. Toplam eşitsizliklerinden x>∣y∣x > |y| ve z<∣y∣z < |y| sonuçları çıkarılır. Bu durum pozitif sayılar arasında z<xz < x sıralamasını, negatif sayı yy'nin ise en küçük olduğunu gösterir (y<z<xy < z < x).

Step-by-Step Solution

1
Çarpım eşitsizliklerinden sayıların işaretlerini belirle.
xx ve zz aynı işaretlidir (x⋅z>0x \cdot z > 0). x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0 olduğundan ve xzxz pozitif olduğundan, yy kesinlikle negatiftir (y<0y < 0).
Üç sayının çarpımı negatif, ikisinin çarpımı pozitifse, kalan sayı negatif olmalıdır.
2
Toplam eşitsizliklerini kullanarak xx ve zz'nin işaretini kesinleştir.
xx ve zz negatiftir varsayımı yapılırsa x+yx+y (iki negatifin toplamı) negatif olurdu. Ancak x+y>0x+y > 0 verildiği için xx pozitif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan zz de pozitiftir.
İşaret tablosu: x(+),z(+),y(−)x(+), z(+), y(-).
3
yy'nin mutlak değerine göre büyüklük sıralaması yap.
x+y>0⇒x>−yx + y > 0 \Rightarrow x > -y. (Burada −y-y, yy'nin mutlak değeridir, pozitiftir). Yani x>∣y∣x > |y|.
y+z<0⇒z<−yy + z < 0 \Rightarrow z < -y. Yani z<∣y∣z < |y|.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının toplamının işareti, mutlak değeri büyük olanın işaretini alır.
4
Elde edilen tüm bulguları sırala.
z<∣y∣z < |y| ve ∣y∣<x|y| < x olduğundan z<xz < x elde edilir. yy negatif olduğu için en küçüktür.
Sıralama: y<0<z<∣y∣<xy < 0 < z < |y| < x. Sonuç: y<z<xy < z < x.

Key Concept

Eşitsizliklerde İşaret ve Büyüklük Analizi

Hints

1
Önce çarpım durumundaki eşitsizlikleri kullanarak x,yx, y ve zz'nin işaretlerini (+ veya -) belirleyin.
2
xx ve zz aynı işaretlidir ve pozitiftirler. yy negatiftir. Toplama işlemlerinde (x+yx+y ve y+zy+z), sayıların mutlak değerleri hakkında ipucu arayın.
3
x+y>0x+y > 0 olması x>−yx > -y (yani x>∣y∣x > |y|) demektir. y+z<0y+z < 0 olması z<−yz < -y (yani z<∣y∣z < |y|) demektir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde 00 noktasını, negatif bölgedeki yy noktasını ve pozitif bölgedeki −y-y (yani ∣y∣|y|) noktasını işaretleyin. xx ve zz'yi bu referans noktalarına göre yerleştirerek görsel çözüm yapın.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →

Aşağıdaki sayı doğrusunda bir xx gerçek sayısının alabileceği değerlerin aralığı renkli olarak gösterilmiştir.

Buna göre, sayı doğrusundaki bu aralığı ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −2≤x<3-2 \leq x < 3

Answer

Sayı doğrusunda −2-2 noktasının içi dolu, 33 noktasının içi boş olduğu için doğru eşitsizlik −2≤x<3-2 \leq x < 3 şeklindedir.
Sayı doğrusu üzerinde bir aralık gösterilirken, sınır değerindeki noktanın içi dolu ise o sayı aralığa dahildir (küçük-eşit veya büyük-eşit sembolü kullanılır). Eğer içi boş ise o sayı aralığa dahil değildir (küçüktür veya büyüktür sembolü kullanılır). Verilen görselde −2-2 noktasının içi dolu olduğundan x≥−2x \geq -2 ve 33 noktasının içi boş olduğundan x<3x < 3 şartları sağlanmalıdır. Bu iki durum birleştirildiğinde −2≤x<3-2 \leq x < 3 eşitsizliğine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusundaki sınır değerlerini belirlemek.
Renkli bölgenin −2-2 noktasından başlayıp 33 noktasında bittiği görülür.
Eşitsizliğin hangi sayılar arasında olduğunu anlamak için uç noktalar incelenmelidir.
2
Noktaların içlerinin dolu veya boş olma durumuna göre dahil olma sembollerini seçmek.
−2-2 noktası dolu olduğundan ≤\leq (küçük-eşit) sembolü, 33 noktası boş olduğundan << (küçüktür) sembolü kullanılmalıdır.
Sayı doğrusunda içi dolu nokta o sayının aralığa dahil olduğunu, içi boş nokta ise dahil olmadığını ifade eder.
3
Sınırları ve sembolleri bir araya getirerek eşitsizliği yazmak.
−2≤x<3-2 \leq x < 3 ifadesi elde edilir.
Sol sınır dahil ve sağ sınır hariç olduğu için bu matematiksel gösterim uygundur.

Key Concept

Basit Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi

Hints

1
Sayı doğrusunda işaretli olan uç noktaların (-2 ve 3) içlerinin dolu mu yoksa boş mu olduğuna dikkat edin.
2
İçi dolu nokta o sayının çözüme dahil olduğunu (≤\leq), içi boş nokta ise dahil olmadığını (<<) temsil eder.
3
−2-2 noktasının içi dolu olduğuna göre eşitsizliğin bu tarafında 'küçük-eşit' sembolü, 33 noktasının içi boş olduğuna göre bu tarafta 'küçüktür' sembolü olmalıdır.

Practice More

Bir eşitsizlik çözüldüğünde bulduğunuz aralığı benzer şekilde sayı doğrusunda çizerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 5Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x≤4-3 < x \leq 4
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [−9,16)[-9, 16)

Answer

[−9,16)[-9, 16) aralığıdır.
İkinci dereceden x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesi bir parabol belirtir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası olan x=2x=2'de −9-9 olarak bulunur. x=2x=2 değeri verilen (−3,4](-3, 4] aralığında olduğundan, alt sınır −9-9 olur. Üst sınır için uç noktalar kontrol edilir; x=−3x=-3 için değer 1616 çıkar ancak xx −3-3'e eşit olamadığı için 1616 dahil edilmez. x=4x=4 için değer −5-5 çıkar. Dolayısıyla ifade [−9,16)[-9, 16) aralığında değer alır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi analiz et ve tam kareye tamamla.
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 ifadesi, f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x-2)^2 - 9 şeklinde yazılabilir.
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği en küçük veya en büyük değeri bulmak için tepe noktasını görmek gerekir.
2
Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol et.
Tepe noktası apsisi x=2x=2'dir. Verilen aralık −3<x≤4-3 < x \leq 4 olduğu için, 22 bu aralığın içindedir.
Eğer tepe noktası aralıktaysa, fonksiyonun alabileceği minimum veya maksimum değer tepe noktasında oluşur.
3
Tepe noktasındaki ve sınır noktalardaki değerleri hesapla.
x=2x=2 için f(2)=−9f(2) = -9 (Minimum, dahil).
Sınırlar:
x=−3x=-3 için f(−3)=(−3)2−4(−3)−5=9+12−5=16f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (Dahil değil).
x=4x=4 için f(4)=42−4(4)−5=16−16−5=−5f(4) = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (Dahil).
Aralığın uç noktalarını ve tepe noktasını kıyaslayarak en geniş aralığı belirlemek için.
4
Bulunan değerlere göre en geniş aralığı yaz.
Minimum değer −9-9 (dahil), maksimum değer 1616'ya yaklaşır (dahil değil). Aralık [−9,16)[-9, 16) olur.
Sonuç kümesini matematiksel aralık gösterimiyle ifade etmek için.

Key Concept

İkinci Dereceden Eşitsizliklerde Değer Aralığı ve Tepe Noktası Analizi

Hints

1
İfadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamayı deneyin veya parabolün tepe noktasını düşünün.
2
Tepe noktası r=−b/2ar = -b/2a formülüyle bulunur. Bu noktanın verilen aralığın içinde olup olmadığını kontrol ettiniz mi?

Practice More

Benzer bir soruyu xx tam sayı kısıtlaması altında çözerek farkı inceleyin.

Alternative Method

Türev kullanarak ekstremum noktayı bulmak: f′(x)=2x−4=0⇒x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2. 2∈(−3,4]2 \in (-3, 4] olduğu için minimum değer burada alınır.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →

Bir kamu kurumu, personel servis hizmeti için iki farklı firmadan fiyat teklifi almıştır. Firmaların belirlediği fiyatlandırma koşulları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

FirmaAylık Sabit Ücret (TL)Personel Başına Ücret (TL)
A Firması12.00012.000400400
B FirmasıYok650650

Kurumda servis hizmetinden yararlanacak personel sayısı xx olmak üzere, A firmasının teklifinin B firmasının teklifinden daha ekonomik olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, bu kurumdaki personel sayısı en az kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 49

Answer

Personel sayısı en az 49 olmalıdır.
A firmasının B firmasından daha avantajlı olması için A'nın toplam maliyetinin B'den küçük olması gerekir. 12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x eşitsizliği çözüldüğünde x>48x > 48 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük personel sayısı (tam sayı) 49'dur.

Step-by-Step Solution

1
Her iki firmanın maliyet fonksiyonlarını personel sayısı xx'e bağlı olarak oluştur.
A Firması Maliyeti: 12.000+400x12.000 + 400x, B Firması Maliyeti: 650x650x
Sabit ücret ve birim maliyetleri kullanarak toplam maliyet denklemlerini yazmak gerekir.
2
A firmasının daha ekonomik (ucuz) olması koşulunu eşitsizlik olarak ifade et.
12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x
'Daha ekonomik' demek, maliyetin sayısal olarak daha küçük olması demektir.
3
Eşitsizliği çözmek için xx'li terimleri bir araya topla.
12.000<650x−400x  ⟹  12.000<250x12.000 < 650x - 400x \implies 12.000 < 250x
Benzer terimleri gruplayarak bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.
4
Her iki tarafı 250250'ye bölerek xx'in alt sınırını bul.
x>12.000250  ⟹  x>48x > \frac{12.000}{250} \implies x > 48
Personel sayısının hangi değerden büyük olması gerektiğini belirlemek için.
5
x>48x > 48 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayıyı belirle.
En küçük tam sayı 49'dur.
Personel sayısı yarım olamayacağı ve eşitsizlik kesin büyüklük (>>) içerdiği için 48 dahil edilemez.

Key Concept

Gerçek hayat problemlerinin birinci dereceden eşitsizlikler kullanılarak modellenmesi ve çözülmesi.

Hints

1
Her iki firma için toplam maliyet denklemini xx değişkenine bağlı olarak yazın. A firmasında sabit ücret olduğunu, B firmasında olmadığını unutmayın.
2
A firmasının maliyeti 12.000+400x12.000 + 400x, B firmasının maliyeti ise 650x650x şeklindedir. A firmasının daha ekonomik olması, maliyetinin B'den küçük olması demektir.
3
12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x eşitsizliğini çözerek xx'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla, kar-zarar problemlerinde maliyet ve satış fiyatı eşitsizliklerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Fark Analizi: A firması sabit olarak 12.00012.000 TL fazla istemektedir, ancak personel başına 650−400=250650 - 400 = 250 TL daha az almaktadır. Bu 250250 TL'lik avantajın, baştaki 12.00012.000 TL'lik farkı kapatıp kara geçmesi için kaç kişi gerektiğini 12.000250\frac{12.000}{250} işlemiyle bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 7Question →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:

a2<aa^2 < a
a⋅c>ca \cdot c > c
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
b>cb > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: (a - b) \cdot (b - c) > 0

Answer

Verilen koşullar altında sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklindedir; bu durumda (a−b)(b−c)>0(a-b)(b-c) > 0 ifadesi daima doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 olarak bulunmuştur. Doğru seçenek (a−b)⋅(b−c)>0(a - b) \cdot (b - c) > 0 ifadesidir. Çünkü:
1. aa pozitif, bb negatiftir. a−b=a+∣b∣a - b = a + |b| olacağından bu ifade pozitiftir.
2. b>cb > c olduğu verilmiştir, dolayısıyla b−c>0b - c > 0 yani bu ifade de pozitiftir.
3. İki pozitif sayının çarpımı (+⋅++\cdot+) sıfırdan büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği analiz etme (a2<aa^2 < a)
0<a<10 < a < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.
2
İkinci eşitsizliği kullanarak cc'nin işaretini bulma (a⋅c>ca \cdot c > c)
c(a−1)>0⇒c<0c(a - 1) > 0 \Rightarrow c < 0
0<a<10 < a < 1 olduğu için (a−1)(a-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için cc de negatif olmalıdır.
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak bb'nin işaretini bulma (a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0)
a(+)⋅b(?)⋅c(−)>0⇒−b>0⇒b<0a(+) \cdot b(?) \cdot c(-) > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0
Pozitif (aa) ve negatif (cc) sayıların çarpımı negatiftir. Sonucun pozitif olması için bb negatif olmalıdır.
4
Sayılar arasındaki genel sıralamayı oluşturma (b>cb > c)
c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1
bb ve cc negatif olup b>cb > c verildiğinden sıralama bu şekilde oluşur.
5
Seçenekleri bu sıralamaya göre test etme
(a−b)(a-b) pozitiftir (pozitif - negatif). (b−c)(b-c) pozitiftir (büyük - küçük). Çarpımları pozitiftir.
Doğru seçeneği belirlemek için işaret analizi yapılır.

Key Concept

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
a2<aa^2 < a eşitsizliği, aa sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
a⋅c>ca \cdot c > c eşitsizliğini c(a−1)>0c(a - 1) > 0 şeklinde düzenleyerek cc'nin işaretini belirleyin.
3
İşaretleri belirledikten sonra sayıları c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklinde sayı doğrusuna yerleştirip seçenekleri test edin.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5, b=−2b = -2, c=−4c = -4 seçerek koşulların sağlandığını (b>cb > c ve işaretler) doğrulayın ve seçeneklerde yerine koyun.
Estimated Time:2m 30s
Question 8Question →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 16'dır.
Verilen x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi parabolik bir ifadedir ve tepe noktası x=3x=3 apsisindedir. Verilen −2<x<5-2 < x < 5 aralığı bu tepe noktasını kapsadığı için, ifadenin alabileceği en küçük değer tepe noktasında oluşur. Tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 elde edilir. Aralık (−5,2)(-5, 2)'ye dönüşür ve karesi alındığında [0,25)[0, 25) aralığı bulunur. Sonuçta ifade [−4,21)[-4, 21) aralığındadır. Buradan en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 20 bulunur ve toplamları 16 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.
x2−6x+5=(x−3)2−9+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4
İkinci dereceden ifadenin aralığını bulmak için tam kare formu, değişkenin tek bir yerde olmasını sağlar ve hata yapmayı engeller.
2
xx için verilen aralığı (x−3)(x-3) ifadesine dönüştür.
−2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğinin her yanından 3 çıkarılırsa: −5<x−3<2-5 < x-3 < 2 elde edilir.
Tam kare içindeki ifadenin aralığını belirlemek gereklidir.
3
(x−3)2(x-3)^2 ifadesinin aralığını bul.
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığı 0'ı içerdiğinden, karenin en küçük değeri 0'dır. En büyük değer ise sınırların karelerinin büyüğü olan (−5)2=25(-5)^2 = 25'tir (dahil değil). Yani: 0≤(x−3)2<250 \le (x-3)^2 < 25.
Bir aralık negatiften pozitife geçiyorsa, karesinin alt sınırı daima 0 olur. Bu, sorunun en kritik noktasıdır.
4
Elde edilen eşitsizlikten 4 çıkararak sonuç aralığını bul.
0−4≤(x−3)2−4<25−4  ⟹  −4≤x2−6x+5<210 - 4 \le (x-3)^2 - 4 < 25 - 4 \implies -4 \le x^2 - 6x + 5 < 21.
İfadenin orijinal haline ulaşmak için son işlem yapılır.
5
Tam sayı değerlerini belirle ve topla.
En küçük tam sayı değeri: −4-4 (eşitlik var). En büyük tam sayı değeri: 2020 (21'den küçük). Toplam: 20+(−4)=1620 + (-4) = 16.
Soruda istenen değerler tespit edilir.

Key Concept

Bir eşitsizlik aralığının karesi alınırken, eğer aralık negatif ve pozitif sayıları içeriyorsa (örneğin −a<x<b-a < x < b), karenin alt sınırı daima 0 olur (0≤x20 \le x^2).

Hints

1
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği değerleri bulurken, ifadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamak işinizi kolaylaştırır.
2
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesini (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 olarak yazın. Şimdi −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğini kullanarak (x−3)(x-3)'ün aralığını bulun.
3
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığının karesini alırken dikkat edin! Aralık negatiften pozitife geçtiği için (0'ı içerdiği için), karenin en küçük değeri daima 0 olur.

Alternative Method

Türev veya Parabol Bilgisi ile: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun tepe noktası r=−b/2a=6/2=3r = -b/2a = 6/2 = 3'tür. x=3x=3 değeri verilen (−2,5)(-2, 5) aralığında olduğu için minimum değer f(3)=9−18+5=−4f(3) = 9 - 18 + 5 = -4'tür. Maksimum değer için sınırlara bakılır: f(−2)=21f(-2) = 21 ve f(5)=0f(5) = 0. Değer kümesi [−4,21)[-4, 21) olur.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x<x2<∣x∣ x < x^2 < |x|
y>y2 y > y^2
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: xy<x\frac{x}{y} < x

Answer

Negatif bir sayının (0, 1) aralığındaki bir sayıya bölümü kendisinden daha küçüktür (x/y < x).
Verilen eşitsizliklerden xx'in (−1,0)(-1, 0) ve yy'nin (0,1)(0, 1) aralığında olduğu sonucuna varılır. 0<y<10 < y < 1 durumu 1y>1\frac{1}{y} > 1 anlamına gelir. Bu eşitsizlik negatif bir sayı olan xx ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirerek xy<x\frac{x}{y} < x halini alır. Bu ifade her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x<x2<∣x∣x < x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
−1<x<0-1 < x < 0
xx pozitif olsaydı x<x2x < x^2 durumu x>1x > 1 gerektirirdi ancak bu durumda x2<xx^2 < x olamazdı. xx negatif olduğunda x2<−xx^2 < -x ifadesi x>−1x > -1 sonucunu verir.
2
y>y2y > y^2 eşitsizliğini analiz et.
0<y<10 < y < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 aralığındaki bir pozitif basit kesirdir.
3
xy\frac{x}{y} ve xx ifadelerini karşılaştır.
xy<x\frac{x}{y} < x
0<y<10 < y < 1 olduğundan 1y>1\frac{1}{y} > 1 olur. Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan xx sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: x⋅1y<x⋅1x \cdot \frac{1}{y} < x \cdot 1.

Key Concept

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sayıların kuvvetlerine göre aralık tayini.

Hints

1
xx ve yy sayıları için belirlenen aralıkların işaretlerini kontrol edin.
2
x<x2<∣x∣x < x^2 < |x| olması xx'in −1-1 ile 00 arasında bir değer alması gerektiğini gösterir.
3
Negatif bir sayıyı 00 ile 11 arasındaki bir sayıya böldüğünüzde sayının mutlak değeri büyür, ancak işareti negatif olduğu için değeri küçülür.

Practice More

Mutlak değer ve eşitsizliklerin bir arada kullanıldığı karmaşık soru tiplerini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
−5<x≤3 -5 < x \leq 3
−3≤y<2 -3 \leq y < 2
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−4yx^2 - 4y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 29'dur.
İfadeyi maksimize ve minimize etmek için aralık aritmetiği kullanılmalıdır. xx aralığı negatifi de kapsadığı için karesinin minimum değeri 0'dır (0≤x2<250 \leq x^2 < 25). −4y-4y için eşitsizlik yön değiştirir (−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12). Taraf tarafa toplandığında (−8,37)(-8, 37) aralığı elde edilir. Buradan en büyük tam sayı 36, en küçük tam sayı -7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x2x^2 ifadesinin aralığını bulma
0≤x2<250 \leq x^2 < 25
xx aralığı (−5,3](-5, 3] şeklindedir. Bu aralık 00 noktasını içerdiği için, x2x^2 ifadesinin alabileceği en küçük değer 00'dır. Üst sınır ise mutlak değerce en büyük uç noktanın karesidir (∣−5∣=5→52=25|-5|=5 \to 5^2=25). 25 açık aralıktır çünkü -5 dahil değildir.
2
−4y-4y ifadesinin aralığını bulma
−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12
yy aralığı [−3,2)[-3, 2) şeklindedir. Eşitsizlik −4-4 (negatif sayı) ile çarpıldığında yön değiştirir:
(−4)⋅2<−4y≤(−4)⋅(−3)⇒−8<−4y≤12(-4) \cdot 2 < -4y \leq (-4) \cdot (-3) \Rightarrow -8 < -4y \leq 12.
3
İki aralığı taraf tarafa toplama
−8<x2−4y<37-8 < x^2 - 4y < 37
Alt sınırlar: 0+(−8)=−80 + (-8) = -8 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Üst sınırlar: 25+12=3725 + 12 = 37 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Elde edilen aralık: (−8,37)(-8, 37).
4
En büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplama
36+(−7)=2936 + (-7) = 29
Bu aralıktaki en büyük tam sayı 3636, en küçük tam sayı ise −7-7'dir. Toplamları: 36+(−7)=2936 + (-7) = 29.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken, çift kuvvet alındığında aralığın 0'ı kapsayıp kapsamadığına dikkat edilmelidir. Negatif sayıyla çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirmelidir.
Question 11Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
−2<a<3-2 < a < 3
olduğuna göre, a2−2aa^2 - 2a ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: [−1,8)[-1, 8)

Answer

[−1,8)[-1, 8) aralığıdır.
Verilen a2−2aa^2 - 2a ifadesi (a−1)2−1(a-1)^2 - 1 şeklinde yazılabilir. aa sayısı (−2,3)(-2, 3) aralığında olduğunda, a−1a-1 ifadesi (−3,2)(-3, 2) aralığında olur. Bu aralıktaki sayıların kareleri [0,9)[0, 9) aralığındadır (çünkü 00 bu aralığa dahildir ve (−3)2=9(-3)^2 = 9 üst sınırdır). Bu aralıktan 11 çıkarıldığında ifadenin alabileceği değerler [−1,8)[-1, 8) olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a2−2aa^2 - 2a ifadesini tam kare yardımıyla düzenle.
a2−2a=(a2−2a+1)−1=(a−1)2−1a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1
Değişkenin birden fazla yerde geçtiği eşitsizliklerde aralık bulmayı kolaylaştırmak.
2
a−1a-1 ifadesinin sınırlarını belirle.
−2<a<3⇒−2−1<a−1<3−1⇒−3<a−1<2-2 < a < 3 \Rightarrow -2-1 < a-1 < 3-1 \Rightarrow -3 < a-1 < 2
Karesi alınacak olan temel ifadenin sınırlarını bulmak.
3
(a−1)2(a-1)^2 ifadesinin sınırlarını belirle.
0≤(a−1)2<90 \leq (a-1)^2 < 9
−3-3 ile 22 arasındaki sayıların karesi alınırken 00 değeri de dahil edilir ve üst sınır en büyük mutlak değerin karesi (−3)2=9(-3)^2 = 9 olur.
4
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkar.
0−1≤(a−1)2−1<9−1⇒−1≤a2−2a<80-1 \leq (a-1)^2 - 1 < 9-1 \Rightarrow -1 \leq a^2 - 2a < 8
İfadenin orijinal halinin alabileceği değer aralığını tamamlamak.

Key Concept

Değişkenlerin aralıkları kullanılarak karesel ifadelerin değer aralığının bulunması (Tam kareye tamamlama yöntemi).

Hints

1
İfadede aa değişkeni iki farklı terimde yer aldığı için doğrudan aralık işlemleri yapmak yerine ifadeyi tek bir aa terimine indirmeye çalışın.
2
a2−2aa^2 - 2a ifadesini bir tam kareye benzetmek için ne ekleyip çıkarmanız gerektiğini düşünün. İpucu: (a−1)2(a-1)^2 açılımını hatırlayın.
3
a2−2a=(a−1)2−1a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1 eşitliğini kullanın. a−1a-1 aralığının karesini alırken aralıkta 00 olup olmadığına dikkat edin.

Practice More

Değişkenlerin tam sayı olduğu durumlar ile gerçel sayı olduğu durumlar arasındaki farkı pekiştirmek için aynı soruyu 'a bir tam sayı olmak üzere' şeklinde çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Türev veya parabol bilgisiyle de çözülebilir. f(a)=a2−2af(a) = a^2 - 2a fonksiyonunun tepe noktası r=−b/2a=1r = -b/2a = 1'dir. f(1)=−1f(1) = -1 (Minimum). Uç değerler: f(−2)=8f(-2) = 8 ve f(3)=3f(3) = 3. Bu durumda değer kümesi [−1,8)[-1, 8) olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →

2x−4≤22x - 4 \leq 2

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 33 noktasında dolu yuvarlak ve sol tarafın taranması

Answer

Sayı doğrusunda 33 noktasında dolu bir yuvarlak bulunmalı ve bu noktanın sol tarafı taranmalıdır.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde 2x≤62x \leq 6 ve buradan x≤3x \leq 3 elde edilir. Bu ifade, xx değerlerinin 33 sayısına eşit veya 33 ten küçük olması gerektiğini belirtir. Sayı doğrusunda eşitlik durumu dolu yuvarlak ile, küçük olma durumu ise sol tarafın taranmasıyla gösterildiği için doğru cevap budur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki −4-4 sayısını sağ tarafa işaretini değiştirerek geçirin.
2x≤2+42x \leq 2 + 4 yani 2x≤62x \leq 6
Eşitsizliklerde bir terim karşıya geçerken işaret değiştirir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafını xx in katsayısı olan 22 ye bölün.
x≤3x \leq 3
Pozitif bir sayıya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
3
Elde edilen x≤3x \leq 3 sonucunu sayı doğrusunda gösterin.
33 noktasında kapalı aralık (dolu yuvarlak) ve sol tarafın boyanması.
≤\leq sembolü eşitlik durumunu içerdiği için sınır noktası dolu gösterilir ve küçük değerler sol tarafta yer alır.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü ve Sayı Doğrusunda Gösterimi

Hints

1
Eşitsizliği çözerken tıpkı bir denklem çözüyormuş gibi xx değerini yalnız bırakmaya çalışın.
2
−4-4 sayısını karşı tarafa atın ve ardından her iki tarafı 22 ye bölün.
3
x≤3x \leq 3 sonucunda 'eşitlik' olduğu için 33 noktasının içi dolu olmalı, 'küçüktür' olduğu için sol taraf taranmalıdır.

Practice More

Benzer şekilde, katsayısı negatif olan −2x+4<2-2x + 4 < 2 gibi bir eşitsizliği çözerek eşitsizliğin ne zaman yön değiştirdiğini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 13Question →
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x2⋅z<0 x^2 \cdot z < 0
x⋅y>0 x \cdot y > 0
x+z>0 x + z > 0
y+z<0 y + z < 0
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: z<y<xz < y < x

Answer

Doğru sıralama z<y<xz < y < x şeklindedir.
Verilen eşitsizliklerden zz'nin negatif, xx ve yy'nin pozitif olduğu anlaşılır. Toplam eşitsizliklerinden x>∣z∣x > |z| ve y<∣z∣y < |z| bağıntıları elde edilir. Bu bilgiler birleştirildiğinde negatif sayı en küçük (zz), pozitifler arasında ise mutlak değerce büyük olan xx, yy'den büyüktür. Doğru sıralama z<y<xz < y < x olur.

Step-by-Step Solution

1
x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 eşitsizliğini analiz et.
z<0z < 0
x≠0x \neq 0 olduğu için x2x^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için zz negatif olmalıdır.
2
x⋅y>0x \cdot y > 0 ve diğer bilgileri kullanarak xx ve yy'nin işaretini belirle.
x>0x > 0 ve y>0y > 0
x+z>0x + z > 0 olduğundan x>−zx > -z olur. zz negatif olduğu için −z-z pozitiftir, dolayısıyla xx kesinlikle pozitiftir. x⋅y>0x \cdot y > 0 olduğundan xx ve yy aynı işaretlidir, yani yy de pozitiftir.
3
xx ve zz arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştir.
∣x∣>∣z∣|x| > |z|
x+z>0⇒x>−zx + z > 0 \Rightarrow x > -z ifadesinde her iki taraf pozitiftir. Bu, xx'in mutlak değerce zz'den büyük olduğunu gösterir.
4
yy ve zz arasındaki ilişkiyi kullanarak yy'nin büyüklüğünü belirle.
∣y∣<∣z∣|y| < |z|
y+z<0⇒y<−zy + z < 0 \Rightarrow y < -z. Burada yy pozitif, −z-z de pozitiftir. Bu durum yy'nin mutlak değerce zz'den küçük olduğunu gösterir.
5
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
z<y<xz < y < x
Negatif olan zz en küçüktür. Pozitifler arasında ∣x∣>∣z∣>∣y∣|x| > |z| > |y| ilişkisinden dolayı x>yx > y bulunur. Sonuç: z<y<xz < y < x.

Key Concept

İşaret ve mutlak değer analizi
Question 14Question →
a,ba, b ve cc birer gerçel sayı olmak üzere;
a2<aa^2 < a
a⋅b<ba \cdot b < b
b<b2b < b^2
a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: c<a⋅cc < a \cdot c

Answer

Negatif bir sayının bir basit kesirle çarpılması sonucunda elde edilen değer, sayının kendisinden daha büyük olacağından 'c < a.c' ifadesi her zaman doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden aa'nın (0,1)(0, 1) aralığında, bb'nin 11'den büyük ve cc'nin negatif olduğu saptanır. Negatif bir sayının, 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayı ile çarpılması sonucu elde edilen değer, başlangıçtaki negatif sayıdan daha büyüktür. Bu matematiksel bir kuraldır.

Step-by-Step Solution

1
aa sayısının aralığını belirleme
0<a<10 < a < 1
Bir gerçel sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.
2
bb sayısının işaretini belirleme
b>0b > 0
a⋅b<b⇒b(a−1)<0a \cdot b < b \Rightarrow b(a - 1) < 0 olur. a<1a < 1 olduğundan (a−1)(a - 1) negatiftir. Çarpımın negatif olması için bb pozitif olmalıdır.
3
bb sayısının aralığını belirleme
b>1b > 1
b<b2b < b^2 ve bb pozitif bir sayı ise bb mutlaka 1'den büyük olmalıdır (b>0b > 0 olduğu için her iki tarafı bb'ye böldüğümüzde 1<b1 < b elde edilir).
4
cc sayısının işaretini belirleme
c<0c < 0
0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan a<ba < b ilişkisi vardır. a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c eşitsizliğinde a<ba < b olmasına rağmen yön değişmişse, her iki taraf negatif bir sayı olan cc ile çarpılmış demektir.
5
Doğru seçeneği kontrol etme
c<a⋅cc < a \cdot c
0<a<10 < a < 1 ve c<0c < 0 ise; bir negatif sayıyı 1'den küçük pozitif bir sayı ile çarpmak onu sıfıra yaklaştırır (değerini büyütür). Örneğin: −10⋅0,5=−5-10 \cdot 0,5 = -5 ve −5>−10-5 > -10.

Key Concept

Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sayıların kuvvet/aralık özellikleri.
Question 15Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−5≤x+3<−1 -5 \leq x + 3 < -1
eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: −8-8 noktasında dolu yuvarlak, −4-4 noktasında boş yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

Answer

−8-8 noktasının kapalı (dolu), −4-4 noktasının açık (boş) olduğu ve bu aralığın tarandığı sayı doğrusu gösterimi
Verilen eşitsizlikte xx ifadesini yalnız bırakmak amacıyla her taraftan 33 çıkarıldığında −8≤x<−4-8 \leq x < -4 aralığı elde edilir. Sayı doğrusu gösteriminde, −8-8 değeri küçük-eşittir (≤)(\leq) sembolünden dolayı kapalı (dolu) nokta ile, −4-4 değeri ise küçüktür (<)(<) sembolünden dolayı açık (boş) nokta ile gösterilmeli ve bu iki nokta arasındaki bölge taranmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her tarafından 33 çıkarılır.
−5−3≤x+3−3<−1−3-5 - 3 \leq x + 3 - 3 < -1 - 3
xx değişkenini yalnız bırakmak için toplama durumundaki +3+3 ifadesi ters işlemi olan çıkarma ile yok edilir.
2
Hesaplamalar tamamlanır.
−8≤x<−4-8 \leq x < -4
Negatif sayılarla yapılan çıkarma işlemi sonucunda xx değişkeninin alt ve üst sınırları belirlenir.
3
Aralık sayı doğrusu üzerine işaretlenir.
−8-8 noktası dolu, −4-4 noktası boş yuvarlak ve bu iki değerin arası taranmış bölge.
≤\leq sembolü sınır değerin dahil olduğunu (dolu/kapalı yuvarlak), << sembolü ise dahil olmadığını (boş/açık yuvarlak) temsil eder.

Key Concept

Basit eşitsizliklerin çözümü ve sayı doğrusu üzerindeki gösterim kuralları

Hints

1
Eşitsizlikteki xx değerine ulaşmak için x+3x+3 ifadesindeki +3+3'ü yok etmelisiniz.
2
Eşitsizliğin her üç kısmından da 33 sayısını çıkararak xx için sınır değerleri bulun.
3
Sayı doğrusunda sınırı dahil olan noktalar (≤\leq veya ≥\geq) dolu yuvarlakla, dahil olmayanlar (<< veya >>) ise boş yuvarlakla gösterilir.

Practice More

Eşitsizlik çözümünde her tarafı negatif bir sayı ile çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizliğin yön değiştireceğini her zaman hatırlayın.
Estimated Time:50s
Question 16Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−2≤x<3-2 \le x < 3
eşitsizliği veriliyor.
y=4x−5y = 4x - 5
olduğuna göre, yy'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -70

Answer

y'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı -70'tir.
Verilen eşitsizlik yy değişkenine dönüştürüldüğünde −13≤y<7-13 \le y < 7 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı, simetrik olanların (-6 ile 6 arası) birbirini götürmesiyle geriye kalan negatif sayıların toplanması sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği verilen y ifadesine benzetmek için her tarafı önce 4 ile çarpın.
−2≤x<3⇒−8≤4x<12-2 \le x < 3 \Rightarrow -8 \le 4x < 12
Eşitsizlik özelliklerine göre pozitif sayı ile çarpmak yönü değiştirmez.
2
Elde edilen eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarın.
−8−5≤4x−5<12−5⇒−13≤y<7-8 - 5 \le 4x - 5 < 12 - 5 \Rightarrow -13 \le y < 7
y = 4x - 5 ifadesini oluşturmak için.
3
Bulunan aralıktaki tam sayıları listeleyin ve toplayın.
Tam sayılar: {−13,−12,…,6}\{-13, -12, \dots, 6\}. Toplam: -70.
-6 ile +6 arasındaki sayıların toplamı 0'dır. Geriye kalan -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7 sayılarının toplamı -70 eder.

Key Concept

Basit Eşitsizliklerde Aralık Genişletme

Hints

1
Soruda x için 'gerçel sayı' denildiğine dikkat edin. x'e değer vermek yerine eşitsizliği genişletmelisiniz.
2
Verilen eşitsizliği 4x−54x - 5 formatına getirmek için önce 4 ile çarpın, sonra 5 çıkarın.
3
Elde edeceğiniz −13≤y<7-13 \le y < 7 aralığındaki tam sayıları toplarken, pozitif ve negatiflerin birbirini götürdüğünü (örneğin -6 ve +6) kullanarak işlemi kısaltabilirsiniz.

Alternative Method

Aritmetik dizi toplam formülü kullanılabilir: Terim Sayısı x (İlk Terim + Son Terim) / 2
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →
xx ve yy sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere,
x<y<0 x < y < 0
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, z=x+yxz = \frac{x+y}{x} ifadesinin alabileceği değerler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: 1<z<21 < z < 2

Answer

1<z<21 < z < 2 aralığı daima doğrudur.
z=x+yx=1+yxz = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x} olarak parçalandığında, x<y<0x < y < 0 durumu incelenirse ∣x∣>∣y∣|x| > |y| olduğu ve her ikisi de negatif olduğu için yx\frac{y}{x} değerinin 00 ile 11 arasında pozitif bir basit kesir olduğu görülür. Bu değere 11 eklenmesi, zz sayısının kesinlikle 11 ile 22 arasında olmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
zz ifadesini terimlerine ayırarak yazın.
z=xx+yx=1+yxz = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}
Değişkenlerin sınırlarını daha kolay inceleyebilmek için ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
x<y<0x < y < 0 eşitsizliğinden yx\frac{y}{x} oranının aralığını bulun.
x<y<0x < y < 0 eşitsizliğinin her tarafı xx (negatif bir sayı) ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir: xx>yx>0x⇒1>yx>0\frac{x}{x} > \frac{y}{x} > \frac{0}{x} \Rightarrow 1 > \frac{y}{x} > 0
Eşitsizliğin her tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmalıdır.
3
Elde edilen yx\frac{y}{x} aralığına 11 ekleyerek zz değerine ulaşın.
0<yx<10 < \frac{y}{x} < 1 olduğuna göre her tarafa 11 eklenirse: 1+0<1+yx<1+1⇒1<z<21+0 < 1+\frac{y}{x} < 1+1 \Rightarrow 1 < z < 2
z=1+yxz = 1 + \frac{y}{x} olduğu için bu adım sonucun tam aralığını verir.

Key Concept

Negatif sayılarla bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin parçalanması.

Hints

1
İfadeyi z=xx+yxz = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} şeklinde iki parçaya ayırarak incelemeyi deneyin.
2
x<y<0x < y < 0 ise her iki tarafı negatif olan xx sayısına böldüğünüzde eşitsizlik yönünün ne olacağını hatırlayın.
3
1>yx>01 > \frac{y}{x} > 0 olduğunu bulduktan sonra, bu eşitsizliğin her tarafına 11 ekleyerek zz ifadesini oluşturun.

Practice More

Değişkenlerin işaretlerinin farklı olduğu veya mutlak değer içeren eşitsizlik sorularına göz atabilirsiniz.

Alternative Method

x=−2x = -2 ve y=−1y = -1 gibi sayısal değerler vererek z=−2−1−2=1,5z = \frac{-2-1}{-2} = 1,5 olduğunu görebilir ve sonucun hangi aralığa düştüğünü kontrol edebilirsiniz. Ancak bu yöntem sadece bir örnek gösterir, kesin ispat için cebirsel çözüm tercih edilmelidir.
Estimated Time:1m 15s
Question 18Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı x,yx, y ve zz sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x2<xx^2 < x
x⋅z>zx \cdot z > z
x+y<zx + y < z

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: y<z<xy < z < x

Answer

Sayıların doğru sıralanışı y<z<xy < z < x şeklindedir.
Verilen koşullar adım adım incelendiğinde; x2<xx^2 < x koşulu xx'in 0 ile 1 arasında (pozitif) olduğunu gösterir. x⋅z>zx \cdot z > z ifadesi z(x−1)>0z(x-1) > 0 olarak düzenlendiğinde, x−1x-1 negatif olduğu için zz'nin de negatif olması gerektiği bulunur. Son olarak x+y<zx+y < z ifadesinde xx pozitif olduğu için, yy'nin zz'den daha küçük olması gerekir (y<z−xy < z-x). Sonuç olarak sıralama y<z<xy < z < x olur.

Step-by-Step Solution

1
x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
0<x<10 < x < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, bu sayı 0 ile 1 arasındadır. Bu durumda xx pozitif bir sayıdır.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'nin işaretini belirle.
z<0z < 0
Eşitsizliği z(x−1)>0z(x - 1) > 0 şeklinde düzenleyelim. 1. adımdan x<1x < 1 olduğunu biliyoruz, bu yüzden (x−1)(x - 1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz de negatif olmalıdır.
3
x+y<zx + y < z eşitsizliğini kullanarak yy ve zz arasındaki ilişkiyi bul.
y<zy < z
Eşitsizliği y<z−xy < z - x şeklinde yazabiliriz. zz negatiftir ve xx pozitiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında (z−xz-x), sonuç zz'den daha küçük (daha negatif) olur. Dolayısıyla yy kesinlikle zz'den küçüktür.
4
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
y<z<xy < z < x
y<zy < z (ve her ikisi negatif), xx ise pozitiftir (0<x<10 < x < 1). Bu nedenle en büyük sayı xx, en küçük sayı yy'dir.

Key Concept

Bir sayının karesi kendisinden küçükse sayı (0,1)(0,1) aralığındadır. Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yön değiştirir.

Hints

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulunuz.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'yi sol tarafa alıp (xz−z>0xz - z > 0) çarpanlarına ayırarak zz'nin işaretini belirleyiniz.
3
zz'nin negatif, xx'in pozitif olduğunu bulduktan sonra, x+y<zx + y < z eşitsizliğinde yy'yi yalnız bırakarak yy ile zz arasındaki büyüklük ilişkisini inceleyiniz.

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizliklerde (∣x∣>x|x| > x gibi) işaret incelemesi gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: x2<xx^2 < x için x=1/2x = 1/2 seçelim. x⋅z>z⇒z/2>z⇒z/2−z>0⇒−z/2>0⇒z<0x \cdot z > z \Rightarrow z/2 > z \Rightarrow z/2 - z > 0 \Rightarrow -z/2 > 0 \Rightarrow z < 0 olmalı, örneğin z=−2z = -2. x+y<z⇒1/2+y<−2⇒y<−2.5x + y < z \Rightarrow 1/2 + y < -2 \Rightarrow y < -2.5, örneğin y=−3y = -3. Sıralama: −3<−2<1/2-3 < -2 < 1/2 yani y<z<xy < z < x.
Estimated Time:2m 0s
Question 19Question →
xx bir gerçel sayı ve yy bir tam sayı olmak üzere,
−4<x≤2-4 < x \leq 2
∣2y+1∣≤9|2y + 1| \leq 9
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−3yx^2 - 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 30'dur.
İfadenin en büyük değerini bulmak için x2x^2 terimini maksimize, yy terimini minimize etmeliyiz. xx aralığı −4<x≤2-4 < x \leq 2 olduğundan ve aralık 00'ı kapsadığından, x2x^2 değeri [0,16)[0, 16) aralığındadır (−4-4'ün karesi 16'dır ancak dahil değildir). yy için ∣2y+1∣≤9|2y+1| \leq 9 eşitsizliğinden −5≤y≤4-5 \leq y \leq 4 elde edilir. İfadeyi en büyük yapmak için yy'nin en küçük değeri olan −5-5 seçilir. Bu durumda ifade x2−3(−5)=x2+15x^2 - 3(-5) = x^2 + 15 olur. x2<16x^2 < 16 olduğundan, x2+15<31x^2 + 15 < 31 sonucuna ulaşılır. 31'den küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Step-by-Step Solution

1
xx değişkeninin karesinin aralığını belirleme
0≤x2<160 \leq x^2 < 16
x∈(−4,2]x \in (-4, 2] aralığında, karesi alınan sayıların en küçüğü 00 (aralıkta 00 bulunduğu için) ve en büyüğü sınır olan −4-4'ün karesine (1616) yaklaşır ancak eşit olamaz.
2
yy tam sayısının çözüm kümesini bulma
−5≤y≤4-5 \leq y \leq 4
∣2y+1∣≤9  ⟹  −9≤2y+1≤9  ⟹  −10≤2y≤8  ⟹  −5≤y≤4|2y + 1| \leq 9 \implies -9 \leq 2y + 1 \leq 9 \implies -10 \leq 2y \leq 8 \implies -5 \leq y \leq 4.
3
İstenen x2−3yx^2 - 3y ifadesini en büyük yapacak değerleri seçme
Maksimum değer için x2x^2 maksimum, yy minimum seçilmelidir.
Bir fark işleminin sonucunu büyütmek için eksilen (x2x^2) büyütülmeli, çıkan (3y3y) küçültülmelidir. yy negatif olduğunda −3y-3y pozitif katkı sağlar.
4
Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama
x2<16x^2 < 16 ve min y=−5y = -5 için ifade <16−3(−5)=31< 16 - 3(-5) = 31. En büyük tam sayı 30.
xx gerçel sayı olduğu için x2x^2, 1616'ya sonsuz yaklaşabilir (örn: 15.99). Bu durumda 15.99−(−15)=30.9915.99 - (-15) = 30.99 olur. Bu değerden küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında kare alma işlemi ve tam sayı kısıtlamalarının birlikte analizi.
Question 20Question →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣ x^2 < |x|
x⋅y<x x \cdot y < x
x+y<0 x + y < 0
y2>y y^2 > y
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: y2>x2y^2 > x^2

Answer

y2>x2y^2 > x^2 ifadesi daima doğrudur.
xx sayısı 00 ile 11 arasında pozitif bir sayıdır. yy sayısı ise negatiftir ve x+y<0x+y < 0 olduğundan mutlak değerce xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x). Bu durumda yy'nin karesi kesinlikle xx'in karesinden büyük olur (y2>x2y^2 > x^2).

Step-by-Step Solution

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
Bu eşitsizlik sadece −1<x<1-1 < x < 1 aralığında (sıfır hariç) sağlanır. Yani x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1).
Bir sayının karesinin mutlak değerinden küçük olması için sayı basit kesir olmalıdır.
2
x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğini incele (x(y−1)<0x(y-1) < 0).
İki durum vardır:
Durum 1: x∈(0,1)x \in (0, 1) (pozitif) ise, y−1<0  ⟹  y<1y-1 < 0 \implies y < 1.
Durum 2: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) (negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir, y−1>0  ⟹  y>1y-1 > 0 \implies y > 1.
Eşitsizliğin her iki tarafı değişkene bölündüğünde işaretine dikkat edilmelidir.
3
y2>yy^2 > y ve x+y<0x + y < 0 koşullarını kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 2 (xx negatif, y>1y > 1) için x+yx+y toplamı pozitif olur (çünkü y>1,x>−1y > 1, x > -1), bu x+y<0x+y<0 ile çelişir. Bu nedenle sadece Durum 1 geçerlidir: x∈(0,1)x \in (0, 1) ve y<0y < 0 (ayrıca y2>yy^2 > y sağlandığından yy negatiftir).
Çelişki analizi ile yanlış durum elenir.
4
x+y<0x+y < 0 eşitsizliğinden mutlak değer ilişkisini çıkar.
x+y<0  ⟹  y<−xx + y < 0 \implies y < -x. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa (y negatif, x pozitif), ∣y∣>∣x∣|y| > |x| olur.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif ise, negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.
5
Sonucu seçeneklerle karşılaştır.
∣y∣>∣x∣|y| > |x| olduğundan, kareleri alındığında y2>x2y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değerce büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Key Concept

Basit eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değer ilişkileri

Hints

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliği, xx sayısının hangi aralıkta olduğunu gösterir? Basit kesirleri düşünün.
2
xx ve yy işaretlerini bulmak için x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğinde durumları inceleyin. xx pozitif ise yy ne olur, xx negatif ise yy ne olur?
3
xx pozitif (0,10,1 aralığında) ve yy negatiftir. x+y<0x+y < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerce xx'ten daha büyük olduğunu gösterir.

Practice More

Mutlak değer ve eşitsizlik içeren karmaşık sorular çözmeye devam edin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde deneme yanılma yöntemi: x=0,5x=0,5 verin. x2<∣x∣x^2 < |x| sağlanır. 0,5⋅y<0,5  ⟹  y<10,5 \cdot y < 0,5 \implies y < 1. y2>y  ⟹  y<0y^2 > y \implies y < 0 veya y>1y > 1. Kesişim y<0y < 0. 0,5+y<0  ⟹  y<−0,50,5 + y < 0 \implies y < -0,5. Örnek y=−2y=-2. Şıkları deneyin: y2=4,x2=0,25  ⟹  4>0,25y^2=4, x^2=0,25 \implies 4 > 0,25.
Estimated Time:2m 0s
Page 1 / 2Next
Basit Eşitsizlikler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin